Số trung bình cộng. Số trung vị. Mốt

I. Lý Thuyết

1. Số trung bình

Cho 1 bảng thống kê số liệu (các giá trị) của một dấu hiệu $x$. 

Tỉ số của tổng tất cả các giá trị của bảng với số các giá trị của bảng là số trung bình, kí hiệu là $\overline{x}$.

Công thức tính số trung bình như sau: 

a) Đối với bảng phân bố tần số rời rạc

$\overline{x}=\frac{1}{n}.(n_1{x}_1+n_2{x}_2+\dots +n_n{x}_n)$$=f_1{x}_1+f_2{x}_2+\dots +f_n{x}_n.$                                (1)

trong đó $n_i,f_i\left(i=1,2,\dots ,k\right)$ lần lượt là tần số, tần suất của giá trị $x_1,n$ là số các số liệu thống kê với $n_1+n_2+\dots +n_n=n$. 

Ghi chú: Các công thức (1) còn có cách viết gọn như sau:

$\overline{x}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^k{n}_i{x}_i={\sum }_{i=1}^k{f}_i{x}_i$

b) Đối với bảng phân bố tần số ghép lớp ta có:

$\overline{x}=\frac{1}{n}.(n_1{C}_1+n_2{C}_2+\dots +n_k{C}_k)$$=f_1{C}_1+f_2{C}_2+\dots +f_k{C}_k$

trong đó $(n_i,C_i,f_i,$ theo thứ tự là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ $I(I=1,2,\dots ,k)$.

 

2. Số trung vị

Sắp thứ tự các  giá trị thống kê theo tự không giảm.

Nếu có $n$ số liệu, $n$ lẻ $(n=2k+1)$ thì $M_e=x_{k+1}$ được gọi là trung vị.

Nếu $n$ là số chẵn $(n=2k)$, thì số trung vị là $M_e=\frac{x_k+x_{k+1}}{2}.$

3. Mốt 

Trong bảng phân bố tần số rời rạc, giá trị có tần số lớn nhất được gọi là mốt của bảng phân bố kí hiệu là $M_0$. 

II. Bài Tập SGK

Bài tập về số trung bình cộng. Số trung vị, mốt

Bài 1 ( Trang 122 SGK Toán đại số lớp 10 )

Tính số trung bình cộng của các bảng phân bố đã được lập ở bài tập số 1 và bài tập số 2 của $\S 1$.

Hướng dẫn.

a) Bảng phân bố tần số (về tuổi thọ bóng đèn điện) có thể viết dưới dạng như sau:

Số trung bình về tuổi thọ của bóng đèn trong bảng phân bố trên là:

$\overline{x}=\frac{1}{30}$.(3×1150 + 6×1160 + 12×1170 + 6×1180 + 3×1190)

    = 1170.

b) Số trung bình về chiều dài lá cây dương xỉ trong bài tập 2 trong $\S 1$ là:

$\overline{x}=\frac{1}{60}$.(8×15 + 18×25 + 24×35 + 10×45) = 31 (cm).

 

Bài 2 ( Trang 122 SGK Toán đại số lớp 10 )

Trong một trường THPT, để tìm hiểu tình hình học Toán của hai lớp 10A, 10B người ta cho hai lớp đó đồng thời làm bài thi môn Toán theo cùng một đề thi và lập được hai bảng phân bố tần số ghép lớp sau đây:

      Điểm thi của lớp 10A

   Điểm thi của lớp 10B

tính các số trung bình cộng của hai bảng phân bố ở trên và nêu nhận xét về kết quả làm bài thi của 2 lớp.

Hướng dẫn.

Số trung bình điểm thi môn Toán lớp 10A:

$\overline{x}=\frac{1}{50}$.(2×1 + 4×3 + 12×5 + 28×7 + 4×9) = 6,12

Số trung bình điểm thi môn Toán lớp 10B:

$\overline{x}=\frac{1}{51}$ .(4×1 + 10×3 + 18×5 + 14×7 + 5×9) = 5,24.

Qua so sánh hai số trung bình có thể thấy kết quả học Toán lớp 10A tốt hơn lớp 10B.

Bài 3 ( Trang 123 SGK Toán đại số lớp 10 )

 Điều tra tiền lương hàng tháng của 30 công nhân của một xưởng may, ta có bảng phân bố tần số sau

                     Tiền lương của 30 công nhân xưởng may

Tìm mốt của hàng phân bố trên. Nêu ý nghĩa của kết quả tìm được.

Hướng dẫn.

a) Trong bảng phân bố trên, giá trị (tiền lương) 700 (nghìn đồng) và 900 (nghìn đồng) có cùng tần số bằng nhau và lớn hơn các tân số của các giá trị khác. Bảng phân bố này có hai số mốt là:

M₁ = 700,      M₂ = 900.

b) Ý nghĩa: Tỉ lệ công nhân có mức lương 700 nghìn đồng và 900 nghìn đồng cao hơn tỉ lệ công nhân có các mức lương khác.

Bài 4 ( Trang 123 SGK Toán đại số lớp 10 )

Tiền lương hàng tháng của 7 nhân viên trong một công ty du lịch là như sau (đơn vị nghìn đồng):

             650, 840, 690, 720, 2500, 670, 3000.

Tìm số trung vị của các số liệu thống kê đã cho. Nêu ý nghĩa của kết quả tìm được.

Hướng dẫn.

Bảng số liệu có 7 giá trị, sếp các giá trị theo thứ tự không giảm ta được:

            650, 670, 690, 720, 840, 2500, 3000.

Số trung vị là M_e = 720. Số trung vị chia các số liệu còn lại của bảng số liệu thành hai phần bằng nhau.

(n số liệu n = 2.3 + 1 lẻ. Số trung vị M_e = x₃₊₁ = x₄ = 720).

Bài 5 ( Trang 123 SGK Toán đại số lớp 10 )

Cho biết tình hình thu hoạch lúa vụ mùa năm 1980 của ba hợp tác xã ở địa phương V như sa

Hãy tính năng suất lúa trung bình của vụ mùa năm 1980 trong toàn bộ ba hợp tác xã kể trên. 

Hướng dẫn.

Năng suất lúa trung bình vụ mùa năm 1980 trong toàn bộ ba xã là:

$\overline{x}=\frac{1}{(150+130+120)}(150x40+130x38+120x36)$ = 38,15 tạ/ha.

III. Bài Tập SBT

Bài 5.10 trang 157 Sách bài tập Đại số 10: a) Tính số trung bình của dãy số liệu trong bảng 5 bằng hai cách: sử dụng bảng phân bố tần số và sử dụng bảng phân bố tần suất (theo các lớp chỉ ra trong bài tập 2 – bài 1).

    b) So sánh chiều cao của học sinh nam với chiều cao của học sinh nữ trong nhóm học sinh được khảo sát.

    c) Tính chiều cao trung bình của tất cả 120 học sinh đã được khảo sát.

Lời giải:

    a) Tính chiều cao trung bình của học sinh nam

    Cách 1: Sử dụng bảng phân bố tần số ghép lớp

    x− = (5 x 140 + 9 x 150 + 19 x 160 + 17 x 170 + 10 x 180) / 60

    x− = 163

    Cách 2: Sử dụng bảng phân bố tần suất ghép lớp

    x− = (8,33 x 140 + 15 x 150 + 31,67 x 160 + 28,33 x 170 + 16,67 x 180) / 100

    x− = 163

    Tính chiều cao trung bình của học sinh nữ

    Cách 1. Sử dụng bảng phân bố tần số ghép lớp

    x− = (8 x 140 + 15 x 150 + 16 x 160 + 14 x 170 + 7 x 180) / 60

    x− = 159,5

    Cách 2: Sử dụng bảng phân bố tần suất ghép lớp

    x− = (13,33 x 140 + 25 x 150 + 26,67 x 160 + 23,33 x 170 + 11,67 x 180) / 100

    x− = 159,5

    b) Vì x_nam− = 163 > x_nữ− = 159,5 nên suy ra học sinh ở nhóm nam cao ơn học sinh ở nhóm nữ.

    x− = (60 x 159,5 + 60 x 163) / 120

    c) Chiều cao trung bình của 120 học sinh là: (159,5 + 163) / 2 ≈ 161 (cm)

 

Bài 5.11 trang 158 Sách bài tập Đại số 10: a) Tính số trung bình của các số liệu thống kê cho ở bảng 6, bảng 7 và bảng 8.

    b) Nêu ý nghĩa của các số trung bình đã tính được.

Lời giải:

    a) 23,3 phút; 540^ο; 27,6^οC

    b) Khi lấy số trung bình làm đại diện cho các số liệu thống kê về quy mô và độ lớn, có thể xem rằng mỗi ngày bạn A đi từ nhà đến trường đều mất 23,3 phút.

Bài 5.12 trang 158 Sách bài tập Đại số 10: Cho bảng phân bố tần số

    Mức thu nhập trong năm 2000 của 31 gia đình trong một bản ở vùng núi cao

Mức thu nhập (triệu đồng)	Tần số
4	1
4,5	1
5	3
5,5	4
6	8
6,5	5
7,5	7
13	2
Cộng	31

    a) Tính số trung bình, số trung vị, mốt của các số liệu thống kê đã cho.

    b) Chọn giá trị đại diện cho các số liệu thống kê đã cho.

Lời giải:

    a) Số trung bình x− = 6,6 triệu đồng. Số trung vị M_e triệu đồng. Mốt M₀ = 6 triệu đồng.

    b) Trong các số liệu thống kê đã cho có sự chênh lệch nhau quá lớn, nên ta không chọn số trung bình cộng mà chọn số trung vị M_e triệu đồng làm đại diện cho mức thu nhập trong năm 2000 của mỗi gia đình trong 31 gia đình được khảo sát.

  Bài 5.13: Cho bảng phân bố tần số ghép lớp (bảng 11)

    Khối lượng của 14 túi đường

Lớp khối lượng (kg)	Tần số
[1; 3)	4
[3; 5)	3
[5; 7)	2
[7; 9]	5
Cộng	14

    Số trung bình của bảng 11 (làm tròn đến hàng phần mười) là:

    A. 3,5kg          B. 18,0kg

    C. 5,1kg          D. 4,8kg

    Bài 5.14: Cho bảng số liệu thống kê ban đầu

    Số trường trung học phổ thông trong năm học 2013 – 2014 của 11 tỉnh thuộc “đồng bằng sông Hồng”

Hà Nội      205	Hải Dương    54	Hà Nam     26
Vĩnh phúc     37	Hải Phòng     51	Nam Định     55
Bắc Ninh     35	Hưng Yên     38	Ninh Bình     27
Quảng Ninh     46	Thái Bình     40

    Đồng thời, từ đó ta tìm được:

    • Số trung bình cộng x− = 55,82 (trường).

    • Số trung vị M_e = 40 (trường).

    Qua trên, có thể chọn giá trị đại diện cho các số liệu thống kê đã cho (về quy mô và độ lớn) là:

    A. Số trung bình cộng

    B. Số trung vị

    C. Mốt

    D. Số lớn nhất trong các số liệu thống kê đã cho

==============================================================================

 

Thầy: Nguyễn Thế Anh

SĐT: 0986.683.218

Các khóa học: 

1. Khóa học luyện thi, toán trắc nghiệm toán 12: truy cập tại đây.
2. Khóa luyện thi toán vào 10 cho học sinh lớp 9: truy cập tại đây
3. Khóa học toán trắc nghiệm đặc biệt cho học sinh lớp 12: truy cập tại đây..
4. Sách “Tâm Pháp Thế Anh – Vip dành cho lớp 12”: truy cập tại đây.