Định nghĩa số phức
– Mỗi biểu thức dạng a+bi(a,b∈R) được gọi là một số phức, trong đó:
+ a là phần thực.
+ b là phần ảo.
+ i là đơn vị ảo và i2 = -1.
– Tập hợp các số phức kí hiệu là C.
– Mỗi số thực là một số phức có phần ảo bằng 0.
– Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số thuần ảo.
Các khái niệm liên quan số phức
1) Số phức bằng nhau: Cho hai số phức z1=a1+b1i;z2=a2+b2i. Ta có:
z1=z2⇔{a1=a2b1=b2 (phần thực bằng phần thực, phần ảo bằng phần ảo)
2) Môđun của số phức: Cho số phức z=a+bi. Môđun của số phức z, kí hiệu là |z| và tính bởi công thức: |z|=a2+b2−−−−−−√
3) Số phức liên hợp: Cho số phức z=a+bi. Số phức liên hợp của số phức z là z¯¯¯=a−bi.
4) Biểu diễn hình học của số phức: Điểm M(a;b) trong một hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi.
– Trục Ox: trục thực
– Trục Oy: trục ảo
Phương pháp giải phương trình trong tập số phức
– Nếu trong phương trình chỉ chứa z hoặc z¯¯¯ thì ta biến đổi z hoặc z¯¯¯ về một vế và rút gọn.
– Nếu trong phương trình chứa z, z¯¯¯, z2, … thì ta đặt z=x+yi(x,y∈R).
– Nếu là phương trình bậc hai thì ta xét Δ=b2−4ac.
* Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép (thực) x=−b2a.
* Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm (thực) phân biệt ⎡⎣z1=−b+Δ√�2az2=−b−Δ√�2a
* Nếu Δ < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức liên hợp ⎡⎣⎢⎢z1=−b+i|Δ�|√2az2=−b−i|Δ�|√2a
– Nếu là phương trình bậc ba thì ta chia Hoocner.
– Nếu là phương trình bậc bốn trùng phương thì ta xem đây là phương trình bậc hai với ẩn số là z2.
Chú ý: Mọi phương trình bậc trình bậc n (n ≥ 1) đều có đúng n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phân biệt. Đây là định lý cơ bản của Đại số học.
Bài tập số phức
I . Thực hiện các phép toán. Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp.
Bài 1: Thực hiện các phép tính:
1) 
2)
3)
4)
5) 
6) 
7) 
8) 
Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và modun của số phức z, biết:
1) 
2) 
và 
.
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
và 
là số thuần ảo 8) 
9) 
10) 
Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 
.
Tính modun của 
.
Bài 4: Cho số phức z thỏa mãn 
. Tính modun của 
.
II . Tìm tập hợp điểm biểu diễn:
Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn một trong các điều kiện sau:
1. 
2. 
3. 1 < | z – 1 | < 2 4. | z – 1 | ≤ 2
5. 
6. 
7. 
8.
9. 
10. 
11. 
III . Giải phương trình:
Bài 1: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. | z | – iz = 1 – 2i
9. z2+3(1+i)z – 6 – 13i = 0 10.
11. z4 – 3z2 + 4 = 0 12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
Bài 2: Cho 
, 
là các nghiệm phức của phương trình 
.
Tính giá trị của biểu thức 