Tổ hợp xác suất trong đề thi thử 2018
Đáp án chi tiết phần tổ hợp xác xuất trong đề thi thử 2018: phần phân loại vận dụng cao tổ hợp xác suất nhị thức Newton.
TỔ HỢP XÁC SUẤT TRONG ĐỀ THI THỬ 2018
- Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho mà mỗi số chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số .
- B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Đặt là các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.
{ các số tự nhiên không vượt quá 2011 chữ số và chia hết cho 9}
Với mỗi số thuộc A có chữ số thì ta có thể bổ sung thêm số vào phía trước thì số có được không đổi khi chia cho 9. Do đó ta xét các số thuộc A có dạng
mà trong không có chữ số 9}
mà trong có đúng 1 chữ số 9}
Ta thấy tập A có phần tử
Tính số phần tử của
Với và với . Từ đó ta suy ra có phần tử
Tính số phần tử của
Để lập số của thuộc tập ta thực hiện liên tiếp hai bước sau
Bước 1: Lập một dãy gồm chữ số thuộc tập và tổng các chữ số chia hết cho 9. Số các dãy là
Bước 2: Với mỗi dãy vừa lập trên, ta bổ sung số 9 vào một vị trí bất kì ở dãy trên, ta có 2010 các bổ sung số 9
Do đó có phần tử.
Vậy số các số cần lập là: .
- Từ các số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số đồng thời thỏa điều kiện: sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 số sau một đơn vị.
- 104 B. 106 C. 108 D. 112
Lời giải
Chọn C.
Cách 1: Gọi là số cần lập
Theo bài ra ta có: (1)
Mà và đôi một khác nhau nên
(2)
Từ (1), (2) suy ra:
Phương trình này có các bộ nghiệm là:
Với mỗi bộ ta có số.
Vậy có số cần lập.
Cách 2: Gọi là số cần lập
Ta có:
. Do
Suy ra ta có các cặp sau:
Với mỗi bộ như vậy ta có cách chọn và cách chọn
Do đó có: số thỏa yêu cầu bài toán.
- Có nam và nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra người trong đó có ít nhất nam và ít nhất nữ () với là số cách chọn có ít hơn nam, là số cách chọn có ít hơn nữ.
- Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: .
- Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: .
- Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: .
- Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: .
Lời giải
Chọn D
Số cách chọn người trong người là: .
*Số cách chọn có ít hơn nam là: .
*Số cách chọn có ít hơn nữ là: .
Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: .
- Nếu một đa giác đều có đường chéo, thì số cạnh của đa giác là:
- . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Cứ hai đỉnh của đa giác đỉnh tạo thành một đoạn thẳng (bao gồn cả cạnh đa giác và đường chéo).
Khi đó số đường chéo là:
(vì ).
- Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?
- . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Đa giác có cạnh .
Số đường chéo trong đa giác là: .
Ta có: .
- Cho đa giác đều đỉnh, và . Tìm biết rằng đa giác đã cho có đường chéo.
- . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
+ Tìm công thức tính số đường chéo: Số đoạn thẳng tạo bởi đỉnh là , trong đó có cạnh, suy ra số đường chéo là .
+ Đa giác đã cho có đường chéo nên .
+ Giải PT:, .
- Trong mặt phẳng cho điểm, trong đó không có điểm nào thẳng hàng và trong tất cả các đường thẳng nối hai điểm bất kì, không có hai đường thẳng nào song song, trùng nhau hoặc vuông góc. Qua mỗi diểm vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng được xác định bởi trong điểm còn lại. Số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau là bao nhiêu?
- . B. .
- . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi điểm đã cho là . Xét một điểm cố định, khi đó có đường thẳng nên sẽ có đường thẳng vuông góc đi qua điểm cố định đó.
Do đó có đường thẳng vuông góc nên có
giao điểm (tính cả những giao điểm trùng nhau).
Ta chia các điểm trùng nhau thành 3 loại:
* Qua một điểm có nên ta phải trừ đi điểm.
* Qua có 3 đường thẳng cùng vuông góc với và 3 đường thẳng này song song với nhau, nên ta mất 3 giao điểm, do đó trong TH này ta phải loại đi: .
* Trong mỗi tam giác thì ba đường cao chỉ có một giao điểm, nên ta mất 2 điểm cho mỗi tam giác, do đó trường hợp này ta phải trừ đi .
Vậy số giao điểm nhiều nhất có được là: .
- Cho đa giác đều đỉnh, và . Tìm biết rằng đa giác đã cho có đường chéo
- . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
+ Tìm công thức tính số đường chéo: Số đoạn thẳng tạo bởi đỉnh là , trong đó có cạnh, suy ra số đường chéo là .
+ Đa giác đã cho có đường chéo nên .
+ Giải PT:.
- Giá trị của thỏa mãn đẳng thức là
- . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
PP sử dụng máy tính để chọn đáp số đúng (PP trắc nghiệm):
+ Nhập PT vào máy tính:
+ Tính (CALC) lần lượt với (không thoả); với (không thoả); với (thoả), với (không thoả)
- Cho đa giác đều đỉnh, và . Tìm biết rằng đa giác đã cho có đường chéo
- . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
+ Tìm công thức tính số đường chéo: Số đoạn thẳng tạo bởi đỉnh là , trong đó có cạnh, suy ra số đường chéo là .
+ Đa giác đã cho có đường chéo nên .
+ Giải PT:.
- Số hạng thứ của khai triển không chứa . Tìm biết rằng số hạng này bằng số hạng thứ hai của khai triển .
- . B. . C. . D. .
Lời giải.
Chọn D
.
Vì số hạng thứ ba của khai triển trên ứng với nên số hạng thứ ba của khai triển là .
Mà số hạng thứ ba của khai triển không chứa nên .
Số hạng thứ 2 của khai triển là .
Khi đó ta có .
- Trong khai triển biết tổng các hệ số . Hệ số của bằng
- . B. . C. . D. .
Lời giải.
Chọn C
.
Thay vào khai triển ta được
.
Hệ số của bằng .
- Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển ?
- . B. . C. . D. .
Lời giải.
Chọn B
.
Các số hạng hữu tỉ sẽ thỏa mãn .
Từ đến có số chia hết cho .
- Cho khai triển , trong đó và các hệ số thỏa mãn hệ thức . Tìm hệ số lớn nhất?
- . B. . C. . D. .
Lời giải.
Chọn B
Số hạng tổng quát trong khai triển là , , . Vậy hệ số của số hạng chứa là .
Khi đó, ta có
.
Dễ thấy và không phải hệ số lớn nhất. Giả sử là hệ số lớn nhất trong các hệ số .
Khi đó ta có
Do
Vậy hệ số lớn nhất là .
- Cho khai triển , trong đó và các hệ số thỏa mãn hệ thức . Tìm hệ số lớn nhất?
- . B. . C. . D. .
Lời giải.
Chọn B
Số hạng tổng quát trong khai triển là , , . Vậy hệ số của số hạng chứa là .
Khi đó, ta có
Dễ thấy và không phải hệ số lớn nhất. Giả sử là hệ số lớn nhất trong các hệ số .
Khi đó ta có
.
Do .
Vậy hệ số lớn nhất là .
- Tính tổng
- . B. . C. . D.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:.
Vế trái của hệ thức trên chính là:
Và ta thấy hệ số của trong vế trái là
Còn hệ số của trong vế phải là
Do đó .
- bằng
- . B. . C. . D. .
Lời giải.
Chọn D
Xét khai triển .
Thay vào khai triển ta được .
Thay vào khai triển ta được :
.
Từ và suy ra .
- Giải bóng chuyền VTV Cup có đội tham gia trong đó có đội nước ngoài và đội củaViệt nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành bảng đấu ,, mỗi bảng đội. Xác suất để đội Việt nam nằm ở bảng đấu là
- . B. . C. . D.
Lời giải
Chọn B
+ Số phần tử không gian mẫu: .
(bốc 4 đội từ 12 đội vào bảng A – bốc 4 đội từ 8 đội còn lại vào bảng B – bốc 4 đội từ 4 đội còn lại vào bảng C – hoán vị 3 bảng)
Gọi : “đội Việt Nam nằm ở bảng đấu”
Khi đó: .
(bốc 3 đội NN từ 9 đội NN vào bảng A – bốc 3 đội NN từ 6 đội NN còn lại vào bảng B – bốc 3 đội NN từ 3 đội NN còn lại vào bảng C – hoán vị 3 bảng – bốc 1 đội VN vào mỗi vị trí còn lại của 3 bảng)
Xác suất của biến cố là .
- Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có chữ số phân biệt. Chọn ngẫu nhiên một số từ . Xác suất chọn được số lớn hơn là
- . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Số có chữ số có dạng: .
Số phần tử của không gian mẫu: .
Gọi : “ tập hợp các số tự nhiên có chữ số phân biệt và lớn hơn .”
TH1.
Chọn : có cách chọn.
Chọn : có cách chọn.
Chọn : có cách chọn.
Chọn : có cách chọn.
Vậy trường hợp này có: (số).
TH2. ,
Chọn : có cách chọn.
Chọn : có cách chọn.
Chọn : có cách chọn.
Chọn : có cách chọn.
Vậy trường hợp này có: (số).
TH3. , ,
Chọn : có cách chọn.
Chọn : có cách chọn.
Chọn : có cách chọn.
Chọn : có cách chọn.
Vậy trường hợp này có: (số).
TH4. , , ,
Chọn : có cách chọn.
Chọn : có cách chọn.
Chọn : có cách chọn.
Chọn : có cách chọn.
Vậy trường hợp này có: (số).
Như vậy: .
Suy ra: .
- Cho đa giác đều đỉnh. Chọn ngẫu nhiên đỉnh trong đỉnh của đa giác. Xác suất để đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều là
- . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Số phần tử không gian mẫu: .
(chọn 3 đỉnh bất kì từ 12 đỉnh của đa giác ta được một tam giác)
Gọi : “ đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều ”.
(Chia đỉnh thành phần. Mỗi phần gồm đỉnh liên tiếp nhau. Mỗi đỉnh của tam giác đều ứng với một phần ở trên.Chỉ cần chọn 1 đỉnh thì 2 đỉnh còn lại xác định là duy nhất).
Ta có: .
Khi đó: .
- Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có chữ số phân biệt. Chọn ngẫu nhiên một số từ . Xác suất chọn được số lớn hơn là
- . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Số có chữ số có dạng: .
Số phần tử của không gian mẫu: .
Gọi : “ tập hợp các số tự nhiên có chữ số phân biệt và lớn hơn .”
TH1.
Chọn : có cách chọn.
Chọn : có cách chọn.
Chọn : có cách chọn.
Chọn : có cách chọn.
Vậy trường hợp này có: (số).
TH2. ,
Chọn : có cách chọn.
Chọn : có cách chọn.
Chọn : có cách chọn.
Chọn : có cách chọn.
Vậy trường hợp này có: (số).
TH3. , ,
Chọn : có cách chọn.
Chọn : có cách chọn.
Chọn : có cách chọn.
Chọn : có cách chọn.
Vậy trường hợp này có: (số).
TH4. , , ,
Chọn : có cách chọn.
Chọn : có cách chọn.
Chọn : có cách chọn.
Chọn : có cách chọn.
Vậy trường hợp này có: (số).
Như vậy: .
Suy ra: .
- Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có chữ số phân biệt được lấy từ các số ,,,,,,,,. Chọn ngẫu nhiên một số từ . Xác suất chọn được số chỉ chứa 3 số lẻ là
- . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Số phần tử không gian mẫu: .
(mỗi số tự nhiên thuộc là một chỉnh hợp chập 6 của 9- số phần tử của là số chỉnh hợp chập 6 của 9).
Gọi : “số được chọn chỉ chứa số lẻ”. Ta có: .
(bốc ra 3 số lẻ từ 5 số lẻ đã cho- chọn ra 3 vị trí từ 6 vị trí của số xếp thứ tự 3 số vừa chọn – bốc ra 3 số chẵn từ 4 số chẵn đã cho xếp thứ tự vào 3 vị trí còn lại của số )
Khi đó: .
- Một hộp đựng tấm thẻ được đánh số từ đến . Chọn ngẫu nhiên tấm thẻ. Gọi là xác suất để tổng số ghi trên tấm thẻ ấy là một số lẻ. Khi đó bằng:
- . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
. Gọi :”tổng số ghi trên tấm thẻ ấy là một số lẻ”.
Từ đến có số lẻ và số chẵn. Để có tổng là một số lẻ ta có trường hợp.
Trường hợp 1: Chọn được thẻ mang số lẻ và thẻ mang số chẵn có: cách.
Trường hợp 2: Chọn được thẻ mang số lẻ và thẻ mang số chẵn có: cách.
Trường hợp 2: Chọn được thẻ mang số lẻ và thẻ mang số chẵn có: cách.
Do đó . Vậy .
- Ba cầu thủ sút phạt đến 11m, mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn tương ứng là , và (với ). Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi ban là . Tính xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn.
- . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là biến cố “người thứ ghi bàn” với .
Ta có các độc lập với nhau và .
Gọi A là biến cố: “ Có ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn”
B: “ Cả ba cầu thủ đều ghi bàn”
C: “Có đúng hai cầu thủ ghi bàn”
Ta có:
Nên
Suy ra (1).
Tương tự: , suy ra:
hay là (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ: , giải hệ này kết hợp với ta tìm được
và .
Ta có:
Nên .
- Một bài trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn trong đó có 1 đáp án đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 5 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 2 điểm. Một học sinh không học bài nên đánh hú họa một câu trả lời. Tìm xác suất để học sinh này nhận điểm dưới 1.
- . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có xác suất để học sinh trả lời câu đúng là và xác suất trả lời câu sai là .
Gọi là số câu trả lời đúng, khi đó số câu trả lời sai là
Số điểm học sinh này đạt được là:
Nên học sinh này nhận điểm dưới 1 khi
Mà nguyên nên nhận các giá trị: .
Gọi () là biến cố: “Học sinh trả lời đúng câu”
A là biến cố: “ Học sinh nhận điểm dưới 1”
Suy ra: và
Mà: nên .