Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

A. Phương pháp giải

1. Định nghĩa

Cho xy là tiếp tuyến tại A với đường tròn (O).

Góc ∠BAx có đỉnh A nằm trên đường tròn, cạnh Ax là một tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung AB.

Góc ∠BAx được gọi là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

Dây AB căng hai cung. Cung nằm bên trong góc là cung bị chắn. Trên hình vẽ, góc ∠BAx có cung bị chắn là cung nhỏ AB , góc ∠BAy có cung bị chắn là cung lớn AB.

2. Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

3. Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Bài 1:

Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O), (AB < AC). Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho MA² = MB.MC. Chứng minh rằng: MA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Hướng dẫn giải

Vì MA² = MB.MC => MA/MB = MC/MA

Xét ΔMAC và ΔMBA có

∠M chung

MA/MB = MC/MA

=> ΔMAC ∼ ΔMBA (c.g.c)

=> ∠MAB = ∠MCA (1)

Kẻ đường kính AD của (O)

Ta có ∠ACB = ∠ADB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB )

Mà ∠MAB = ∠MCA (chứng minh trên)

Suy ra ∠MAB = ∠ADB (3)

Lại có ∠ABD = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> ∠BAD + ∠BDA = 90^o (4)

Từ (3) và (4) suy ra ∠BAD + ∠MAB = 90^o hay ∠MAO = 90^o

=> OA ⊥ MA

Do A ∈ (O)

=> MA là tiếp tuyến của (O).

Bài 2:

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) tại A và B. Qua A vẽ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn tại C. Nối C với M cắt đường tròn (O) tại D.Nối A với D cắt MB tại E. Chứng minh rằng:

a) ΔABE ∼ ΔBDE; ΔMEA ∼ ΔDEM.

b) E là trung điểm của MB.

Hướng dẫn giải

a) Xét ΔABE và ΔBDE có:

+ ∠E chung

+ ∠BAE = ∠DBE (góc nội tiếp và góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BD )

=> ΔABE ∼ ΔBDE (g.g)

Vì AC // MB nên ∠ACM = ∠CMB (so le trong)

Mà ∠ACM = ∠MAE (góc nội tiếp và góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD )

Suy ra: ∠CMB = ∠MAE

Xét ΔMEA và ΔDEM có:

+ ∠E chung

+ ∠MAE = ∠CMD (chứng minh trên)

=> ΔMEA ∼ ΔDEM (g.g)

b) Theo chứng minh a) ta có:

ΔABE ∼ ΔBDE => AE/BE = BE/DE => EB² = AE.DE

ΔMEA ∼ ΔDEM => ME/DE = EA/EM => ME² = DE.EA

Do đó EB² = EM² hay EB = EM.

Vậy E là trung điểm của MB.

Bài 3:

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại M. Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với (O) tại A và cắt (O’) tại B và C (B nằm giữa A và C)

Gọi D là giao điểm của CM và (O). Chứng minh rằng:

a) MA là phân giác của ∠BMD

b) MA² = MB.MD

Hướng dẫn giải

a) Kẻ tiếp tuyến chung Mx của hai đường tròn (O) và (O’)

Ta có:

∠BAM = ∠AMx (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AM của (O)).

∠BMx = ∠BCM (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung MB của (O’)).

Mặt khác ∠AMD = ∠MAB + ∠MCB (∠AMD là góc ngoài của tam giác AMC)

=> ∠AMD = ∠AMx + ∠BMx = ∠BMA

Vậy MA là phân giác của ∠BMD .

b) Xét ΔMAD và ΔBMD có:

+) ∠AMD = ∠BMA (chứng minh a))

+) ∠ADM = ∠BAM

=> ΔMAD ∼ ΔMBA (g.g)

=> MA/MB = MD/MA hay MA² = MB.MD

Bài 4:

Cho điểm C thuộc nửa đường tròn (O) đường kính AB. Từ điểm D thuộc đọan AO kẻ đường thẳng vuông góc với AO cắt AC và BC lần lượt lại E và F. Tiếp tuyến C với nửa đường tròn cắt EF tại M và cắt AB tại N.

a) Chứng minh M là trung điểm của EF.

b) Tìm vị trí của điểm C trên đường tròn (O) sao cho ΔACN cân tại C.

Hướng dẫn giải

a) Ta có ∠MCA = 1/2 Sđ AC (góc giữa tiếp tuyến và dây cung chắn cung AC) (1)

Lại có ∠MEC = ∠AED = 90^o – ∠EAD = 90^o – 1/2 Sđ BC = 1/2Sđ AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∠MCE = ∠MEC

Vậy ΔMEC cân tại M, suy ra MC = ME.

Chứng minh tương tự ta có MC = MF.

Suy ra ME = MF hay M là trung điểm của EF.

b) ΔACN cân tại C khi và chỉ khi ∠CAN = ∠CNA

Vì MN là tiếp tuyến với (O) tại C nên OC ⊥ MN => ∠CNA = 90^o – ∠COB = 90^o – 2.∠CAN

Do đó: ∠CAN = ∠CNA ⇔ ∠CAN = 90^o – 2.∠CAN

⇔ 3∠CAN = 90^o

=> ∠CAN = 30^o

=> SđBC = 60^o

Vậy ΔACN cân tại C khi C nằm trên nửa đường tròn (O) sao cho SđBC = 60^o .

Bài 5:

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm thay đổi trên tiếp tuyến Bx của (O). Nối AM cắt (O) tại N. Gọi I là trung điểm của AN.

a) Chứng minh: ΔAIO ∼ ΔBMN ; ΔOBM ∼ ΔINB

b) Tìm vị trí của điểm M trên tia Bx để diện tích ΔAIO có giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải

a) Vì I là trung điểm của AN => OI ⊥ AN

=> ∠AIO = ∠ANB = 90^o

Do Bx là tiếp tuyến với (O) tại B nên

∠NBM = ∠IAO = 1/2SđBN

Suy ra ΔAIO ∼ ΔBMN (g.g)

Vì ∠OIM = ∠OBM = 90^o nên các điểm B, O, I, M cùng thuộc đường tròn đường kính MO, suy ra ∠BOM = ∠BIN

Xét ΔOBM và ΔINB có:

∠OBM = ∠INB

∠BOM = ∠BIN

Suy ra ΔOBM ∼ ΔINB (g.g)

b) Kẻ IH ⊥ AO ta có: S_ΔAIO = 1/2 AO.IH

Vì AO không đổi nên S_ΔAIO lớn nhất ⇔ IH lớn nhất.

Nhận thấy: Khi M chuyển động trên tia Bx thì I chạy trên nửa đường tròn đường kính AO. Do đó IH lớn nhất khi IH là bán kính của đường tròn, khi đó ΔAIO vuông cân tại I nên ∠IAH = 45^o. Suy ra ΔABM vuông cân tại B nên BM = BA = 2R

Vậy khi M thuộc Bx sao cho BM = 2R thì S_ΔAIO lớn nhất.

Bài 6:

Cho đường tròn (O; R) và dây AB, gọi I là trung điểm của dây AB. Trên tia dối của tia BA lấy điểm M. Kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn, (C,D ≠ (O)) .

a) Chứng minh rằng: Năm điểm O, I, C, M, D cùng nằm trên một đường tròn.

b) Gọi N là giao điểm của tia OM với (O). Chứng minh rằng N là tâm đường tròn nội tiếp .

Hướng dẫn giải

a) Vì MC, MD là các tiếp tuyến tại C, D với đường tròn (O) nên ∠OCM = ∠ODM = 90^o (1)

Mặt khác I là trung điểm của dây AB nên OI ⊥ AB hay ∠OIM = 90^o (2)

Từ (1), (2) suy ra 5 điểm M, C, D, O, I cùng thuộc đường tròn đường kính OM.

b) Vì MC, MD là các tiếp tuyến của (O) nên MO là phân giác của ∠CMD và OM là phân giác của ∠COD .

Mà: ∠DCN = ∠NCM = 1/2 Sđ CN

Suy ra CN là phân giác của ∠DCM(4)

Từ (3) và (4) suy ra N là giao điểm các đường phân giác trong của ΔCMD hay N là tâm đường tròn nội tiếp ΔCMD