Phương trình đường thẳng

April 18, 2017
 |  No Comments

Phương trình đường thẳng

1. Khái niệm :

  • Vectơ \overrightarrow {u} được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu \overrightarrow {u} \neq\overrightarrow {0}  và giá của \overrightarrow {u}  song song hoặc trùng với d.
  • Vectơ \overrightarrow {n} được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d nếu \overrightarrow {n} \neq\overrightarrow {0}  và giá của \overrightarrow {n} vuông góc  với vectơ  chỉ phương.

2. Phương trình tham số (t ) đường thẳng d :

Đường thẳng d đi qua M(x0, y0) và nhận Vectơ \overrightarrow {u}=(u_1,u_2) làm vectơ chỉ phương.

(d):\begin{cases} x=x_0+u_1.t \\ y=y_0+u_2.t\end{cases}

Hệ số góc của đường thẳng d : k=\frac{u_2}{u_1}

3.  Phương trình tổng quát đường thẳng d : ax + by + c = 0

Đường thẳng d đi qua M(x0, y0) và nhận Vectơ \overrightarrow {n}=(a, b) làm vectơ pháp tuyến.

a(x – x0) + b(y – y0) = 0

4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Cho d1 : a1x + b1y + c1 = 0 và d2 : a2x + b2y + c2 = 0

Tọa độ giao điểm của d1 và d2 là nghiệm của hệ :

(d):\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 = 0\end{cases}(*)

  • Hệ (*) có một nghiệm (x0, y0) thì d1 cắt d2 tại A(x0, y0).
  • Hệ (*) có vô số nghiệm thì d1 trùng d2
  • Hệ (*) vô nghiệm thì d1 song song d2

5. Góc α giữa hai đường thẳng :

d1 : a1x + b1y + c1 = 0 và d2 : a2x + b2y + c2 = 0

cos\alpha=\frac{ |a_1a_2+b_1b_2| }{\sqrt{a_1^2+b_1^2} . \sqrt{a_2^2+b_2^2}}

6. Khoảng cách từ M(x0, y0) đến đường thẳng Δ : ax + by + c = 0

d(M, \Delta)=\frac{ | ax_0 + by_0 + c | }{\sqrt{a^2+b^2}}

 ===========================================

BÀI TẬP SGK :

BÀI 1 TRANG 80 SGK CB :

Lập Phương trình tham số  đường thẳng d trong các trường hợp sau :

a) d đi qua M(2;1) và nhận Vectơ \overrightarrow {u}=(3;4) làm vectơ chỉ phương.

b) d đi qua M(-2;3) và nhận Vectơ \overrightarrow {n}=(5;1) làm vectơ pháp tuyến.

giải.

a) Phương trình tham số  đường thẳng có dạng (d):\begin{cases} x=x_0+u_1.t \\ y=y_0+u_2.t\end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases} x=2+3t \\ y=1+4t\end{cases}(d)

b) Vectơ \overrightarrow {n}=(5;1) làm vectơ pháp tuyến => vectơ chỉ phương \overrightarrow {u}=(1;-5).

Phương trình tham số  đường thẳng có dạng (d):\begin{cases} x=x_0+u_1.t \\ y=y_0+u_2.t\end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases} x=-2+t \\ y=3-5t\end{cases}(d)

Nhận xét : Lập Phương trình tham số  đường thẳng :

  • Bước 1 : phải tìm điểm đi qua M(x0, y0) và nhận Vectơ \overrightarrow {u}=(u_1,u_2) làm vectơ chỉ phương.
  • Bước 2 : thế số vào công thức.

——————————————————————————————————–

BÀI 2 TRANG 80 SGK CB :

Lập Phương trình tổng quát đường thẳng d trong các trường hợp sau :

a)d đi qua M(-5;-8) có hệ số góc k = -3.

b)d đi qua A(2;1) và B(-4;5)

Giải.

a)d có hệ số góc k = -3 => d : y = -3x + b

d đi qua A(2;1) nên : 1 = -3.2 + b => b = 7

vậy d :  y = -3x + 7 hay 3x + y – 7 = 0

b) d nhận vectơ chỉ phương \overrightarrow {AB}=(-4-2;5-1)=(-6;4) => vectơ pháp tuyến \overrightarrow {n}=(4;6).

=> d : 4(x – 2) + 6(y – 1) = 0

<=> 4x + 6y – 14 = 0

vậy :  2x + 3y – 7 = 0 (d)

Nhận xét : Lập Phương trình tổng quát  đường thẳng :

  • Bước 1 : phải tìm điểm đi qua M(x0, y0) và nhận Vectơ \overrightarrow {n}=(a;b) làm vectơ pháp tuyến.
  • Bước 2 : thế số vào công thức.

—————————————————————————————————————

BÀI 3 TRANG 80 SGK CB :

Cho tam giác ABC. Biết A(1;4), B(3;-1) và C(6;2).

Lập Phương trình tổng quát đường thẳng AB, BC và CA.

Lập Phương trình tổng quát đường cao AH và trung tuyến AM.

Giải.

(AB) nhận vectơ chỉ phương \overrightarrow {AB}=(3-1;-1-4)=(2;-5)

=> vectơ pháp tuyến \overrightarrow {n}=(5;2).

=> (AB) : 5(x – 1) + 2(y – 4) = 0

<=> 5x + 2y – 13 = 0

(AC) nhận vectơ chỉ phương \overrightarrow {AC}=(6-1;2-4)=(5;-2)

=> vectơ pháp tuyến \overrightarrow {n}=(2;5).

=> (AC) : 2(x – 1) + 5(y – 4) = 0

<=> 5x + 2y – 22 = 0

(BC) nhận vectơ chỉ phương \overrightarrow {BC}=(6-3;2+1)=(3;3)

=> vectơ pháp tuyến \overrightarrow {n}=(3;-3).

=> (AB) : 3(x – 6)  – 3(y – 2) = 0

<=> x – y – 4 = 0

AH \bot BC => (AH) vectơ pháp tuyến \overrightarrow {n}=(3;3).

(AH) : 3(x – 1) + 3(y – 4) = 0

<=> x + y – 5 = 0

M (x; y) trung điểm BC : \begin{cases} x=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{9}{2}\\ y=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{1}{2}\end{cases}(d)

(AM) nhận vectơ chỉ phương \overrightarrow{AM}=(\frac{7}{2};-\frac{7}{2})

=> vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n}=(\frac{7}{2};\frac{7}{2}).

=> (AM) : (x – 1)7/2 + (y – 4)7/2 = 0

<=> x – y – 5 = 0

Nhận xét :

\overrightarrow{u}=(a,b) và \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{v}

=>  \overrightarrow{v}=(-b,a) = (b;-a) vì \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=ab-ab=0

——————————————————————————-

BÀI 6 TRANG 80 SGK CB :

Phương trình tham số  đường thẳng (d): \begin{cases} x=2+2t \\ y=3+t\end{cases}

Tìm M thuộc d và cách A(0;1) một khoảng 5.

Giải.

M(x;y) thuộc d, nên : M(2 + 2t ; 3 + t).

AM = 5

⇔  AM2 = 25

⇔ (2 + 2t – 0)2 + (3 + t – 1)2 = 25

⇔ 5t2+ 12t – 17 = 0

⇔ t = 1 hoặc t = -17/5

vậy : M(4 ; 4) hoặc M(-24/5 ; -2/5).

——————————————————————————-

BÀI 7 TRANG 81 SGK CB :

Góc góc α giữa hai đường thẳng :

d1 : 4x – 2y + 6 = 0 và d2 : x – 3y + 1 = 0

giải.

cos\alpha=\frac{ |4.1+(-2)(-3)| }{\sqrt{4^2+2^2} . \sqrt{1^2+3^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

=> α = 450.

——————————————————————————-

BÀI 9 TRANG 81 SGK CB :

Tìm bán kính đường tròn tâm C(-2 ; -2) tiếp xúc d : 5x+ 12y – 10 = 0

Giải.

đường tròn tâm C(-2 ; -2) tiếp xúc d : R=d(M, \Delta)=\frac{ |5(-2)+12(-2)-10| }{\sqrt{5^2+12^2}}=\frac{44}{13}

=============================================

Đại học khối A 2012 (1,0 điểm)

Câu VI.a Đại học khối A 2010 (1,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.

Đáp Án :

Toán 10
 |  Tags: itconsultant