So sánh hai số thực

A. Phương pháp giải

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất: Nếu a,b ≥ 0 thì a < b ⇔ √a < √b

B. Bài tập tự luận

Bài 1:

Không dùng máy tính, hãy so sánh:

1, 8 và √65.

2, √15 -1 và √10

3, 3√3 – 2√2 và 2

4, 3√12 và 2√26

5, 4 – 2√2 và 3 – √3

6, 1 + √2 + √5 + √6 và √35

7, 2 + √3 và 5 – √2

Hướng dẫn giải

1, Ta có 8 = √64. Vì √64 < √65 nên 8 < √65 .

2, Ta có √15 – 1 < √16 – 1 = 4 – 1 = 3

√10 > √9 = 3

Vậy √15 – 1 < √10.

3, Ta có 3√3 > 2√2 => 3√3 – 2√2 > 0 và 2 > 0

Giả sử 3√3 – 2√2 > 2 ⇔ (3√3 – 2√2)² > 2²

⇔ 35 – 12√6 > 4

⇔ 31 > 12√6 ⇔ √961 > √864.

4, Giả sử 3√12 > 2√26 ⇔ √108 > √104 (bất đẳng thức đúng)

Vậy 3√12 > 2√26

5, Giả sử 4 – 2√2 > 3 – √3 ⇔ 4 – 3 > 2√2 – √3 ⇔ 1 > 2√2 – √3

Vì 2√2 = 8 > √3 nên: 2√2 – √3 > 0. Do đó 1² > (2√2 – √3)²

⇔ 1 > 11 – 4√6 ⇔ 4√6 > 10

⇔ √96 > √100 (bất đẳng thức sai).

Vậy 4 – 2√2 < 3 – √3 .

6, Vì √2 > 1; √5 > 2; √6 > 2

=> 1 + √2 + √5 + √6 > 1 + 1 + 2 + 2

=> 1 + √2 + √5 + √6 > 6

=> 1 + √2 + √5 + √6 > √36

Mà √36 > √35 nên 1 + √2 + √5 + √6 > √35

7, Giả sử 2 + √3 < 5 – √2 ⇔ √3 + √2 < 5 – 2

⇔ (√3 + √2)² < 3²

⇔ 5 + 2√6 < 9 ⇔ 2√6 < 4 ⇔ √6 < 2 ⇔ 6 < 4 (bất đẳng thức sai)

Vậy 2 + √3 > 5 – √2