Một số bài Tổ hợp xác suất hay- lạ – khó – Thầy Thế Anh

Bài toán đa giác: số tam giác, số tam giác đều, số tam giác có các cạnh thỏa mãn điều kiện, số hình chữ nhật….

Cho đa giác đều 2n đỉnh (n>=2),hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 trong 2n đỉnh của tam giác .

1.Cho đa giác đều 2n đỉnh (n>=2),hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 trong 2n đỉnh của tam giác .

2.Cho đa giác đều n đỉnh ( n>=8),hỏi có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho

1) Đa giác đều 2n đỉnh có $n$ đường chéo qua tâm.

…Cứ 2 đường chéo qua tâm tương ứng vs 1 hình chữ nhật có 4 đỉnh là đỉnh đa giác —> số hcn là n${\mathrm{C2}}^{}$

2) Số tam giác tạo thành từ n đỉnh là n${\mathrm{C3}}^{}$.Trong đó :

…Số tam giác có 2 cạnh là cạnh đa giác là 

…Số tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh đa giác là $n(n-4)={\mathrm{n^}}^2-4n$

…Số tam giác cần tìm là n${\mathrm{C3}}^{}-n-{\mathrm{n^}}^2+4n$

Cho đa giác đều A1, A2,…A2n ( n 2; n thuộc N ) nội tiếp đường tròn (O) biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2, …., A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm đó. Tìm n. ( khối B – 2002)

Hướng dẫn:  Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2, …, A2n là (2nC3) 
Đa giác đều 2n đỉnh có n đường chéo xuyên tâm.Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh tương ứng với 1 cặp đường chéo xuyên tâm —> Số hình chữ nhật là nC2 
Vậy (2nC3) = 20 (nC2) —> n = 8.

3.Cho phương trình x +y+z=100

a,Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình

b,Tìm số nghiệm nguyên của phương trình thỏa mãn điều kiện x>1,y>2,z>3.

a) Số nghiệm ko âm của pt là 102$C^2$

b) Đặt m = x-2; n = y-3; p = z-4 (m;n;p ko âm) —> $m+n+p=91$

…—> Số nghiệm thỏa mãn ĐK đề bài là 93$C^2$

Trong mặt phẳng cho 1 đa giác đều H có 20 cạnh .Hỏi có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của H?

+Với 3 đỉnh bất kỳ của H tạo ra 1 tam giác
vậy số các tam giác được tạo từ các đỉnh của H là: s1=C3;20 = 1140 (tổ hợp chập 3 của 20)
+ với tam giác trong hình H và có ít nhất 1 cạnh là cạnh của H có 2 trường hợp:
-tam giác có 2 cạnh là cạnh của H: khi đó 2 cạnh thuộc H sẽ là 2 cạnh kề nhau trong H.
số các cặp cạnh kề nhau trong H là 20 cặp vậy ta có s2 = 20 tam giác
-tam giác có 1 cạnh là cạnh của H: khi đó với 1 cạnh bất kì ta đều có thể tạo ra 1 tam giác có đúng 1 cạnh thuộc cạnh của H bằng cách nối 2 đỉnh của cạnh với một đỉnh khác của H và loại 2 đỉnh liền kề với cạnh đó. với mỗi cạnh thuộc H ta sẽ có 20-2-2 = 16 (trừ đi 2 đỉnh của cạnh đó và 2 đỉnh liền kề). vậy với 20 cạnh ta sẽ có: s3 = 20×16 = 320 tam giác
vậy số tam giác cần tìm là: s = s1-s2-s3 = 1140-20-320 = 800 tam giác

Đề Kim Liên lớp 11: Cho đa giác đều n>=2 nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng 7 lần số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh của đa giác mà không có cạnh của đa giác đều nhiều gấp 88 lần số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n đỉnh của đa giác. Tìm n

Đ/s: (2n)C3- 2n-2n(2n-4)=88*nC2=> đáp số n=8