Lý thuyết về cấp số cộng và bài tập cấp số cộng

1Định nghĩa cấp số cộng:

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số dd không đổi, nghĩa là (un)(un) là cấp số cộng ⇔∀n⩾2,un=un−1+d⇔∀n⩾2,un=un−1+d
Số dd được gọi là công sai của cấp số cộng.
Ví dụ 1: a) Dãy các số tự nhiên lẻ
1,3,5,...,2n−1,...1,3,5,…,2n−1,… là một cấp số cộng với công sai d=2d=2
a)    Dãy số −3,1,5,9,13,17,21,25−3,1,5,9,13,17,21,25 là một cấp số cộng với công sai d=4d=4

2.    Tính chất cấp số cộng

Định lí 1: Nếu u(n) là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là
uk=uk−1+uk+12uk=uk−1+uk+12

3.    Số hạng tổng quát cấp số cộng

Định lí 2: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u1u1 và công sai dd thì số hạng tổng quát unun của nó được xác định theo công thức sau: un=u1+(n−1)d

4.    Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng

Định lí 3: Giả sử (un)là một cấp số cộng. Với mỗi số nguyên dương n, gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó (Sn=u1+u2+...+un). Khi đó ta có:Sn=(u1+un)n/2
Ví dụ 2: Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là 4,5 triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 0,3 triệu đồng mỗi quý.
Hãy tính tổng số tiền lương một kĩ sư được nhận sau 3 năm làm việc cho công ty.
Giải: 
Với mỗi số nguyên dương nn, kí hiệu un (triệu đồng) là mức lương của người kĩ sư ở quý làm việc thứ nn cho công ty. Theo giả thiết bài toán ta có
u1=4,5;un+1=un+0,3  với mọi n⩾1n⩾1.
Do đó, dãy số (un) là một cấp số cộng với công sai d=0,3
Vì mỗi năm có 4 quý nên 3 năm có 12 quý. Như thế, theo yêu cầu của bài toán ta phải tính tổng 12  số hạng đầu tiên của cấp số cộng  (un)(un).
Theo định lý 2, ta có: u12=4,5+(12−1).0,3=7,8
Do đó, theo định lí 3, ta được
S12=12.(4,5+7,8)/2=73,8(triệu đồng)
Chú ý: Từ định lí 2 và định lí 3, dễ dàng suy ra
∀n⩾1,Sn=[2u1+(n−1)d]n/2