Lý thuyết và bài tập về phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

February 29, 2016

| No Comments

Lý thuyết và bài tập về phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

A. Tóm tắt lý thuyết về phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn (x và y) có dạng: ax + by =c (1) trong đó a, b, c, là các số đã cho, với ab ≠ 0.

Nếu có cặp số (x₀; y₀) sao cho ax₀ + by₀ = c thì (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của phương trình (1).

2. Giải và biện luận phương trình ax + by = c (ab ≠ 0)

+ Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 phương trình có vô số nghiệm, mỗi cặp số (x, y), trong đó

$\left\{\begin{matrix} x\in R & \\ y=\frac{c-ax}{b}& \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} y\in R & \\ x=\frac{c-by}{a}& \end{matrix}\right.$ đều là nghiệm của phương trình.

Tập nghiệm của phương trình biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là đồ thị của hàm số y = $\frac{-a}{b}x+\frac{c}{a}$ . Ta cũng gọi đồ thị đó là đường thẳng ax + by = c.

+ Nếu a = 0, b ≠ 0 mỗi cặp số (x; y) trong đó là một nghiệm của phương trình.

Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bằng đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung tại điểm P(0; $\frac{c}{b}$ ).

+ Nếu a ≠ 0, b = 0, tập nghiệm của phương trình là các cặp số (x, y) trong đó $\left\{\begin{matrix} x=\frac{c}{a} & \\ y& \end{matrix}\right.$ là số tùy ý.

Đường thẳng x = $\frac{c}{a}$ song song với trục tung và cắt trục hoành tại điểm Q( $\frac{c}{a}$ ; 0) biểu diễn tập nghiệm của phương trình.

3. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

là hệ phương trình có dạng: (I) $\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y=c_{1} (1)& \\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}(2)& \end{matrix}\right.$

trong đó (1) và (2) là các phương trình bậc nhất hai ẩn.

Một cặp số (x₀; y₀) đồng thời là nghiệm của (1) và của (2) gọi là một nghiệm của hệ (I).

Có thể giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế hay phương pháp cộng đại số.

4. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

Để giải ta dùng phương pháp cộng đặc số để đưa về hệ phương trình tương đương có dạng tam giác hoặc dùng phương pháp thế để đưa về việc giải một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

[su_button url=”https://www.nguyentheanh.com/dang-ki-khoa-hoc-cua-thay-nguyen-the-anh” target=”blank” style=”3d” background=”#ef9a2d” size=”5″ center=”yes” icon=”icon: arrow-down” icon_color=”#ffffff” text_shadow=”0px 0px 0px #09184e” desc=”Hoặc gọi thầy: 0986.683.218″]ĐĂNG KÍ HỌC LỚP 10[/su_button]

B. Bài tập về phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Bài 1 trang 68 sgk đại số 10

Bài 1. Cho hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 7x - 5 y = 9 & \\ 14x - 10y = 10& \end{matrix}\right.$ .

Tại sao không cần giải ta cũng kết luận được hệ phương trình này vô nghiệm ?

Hướng dẫn giải:

Ta thấy rằng nhân vế trái phương trình thứ nhất với 2 thì được vế trái của phương trình thứ hai. Trong khi đó nhân vế phải phương trình thứ nhất với 2 thì kết quả khác với vế phải phương trình thứ hai. Vậy chắc hệ phương trình vô nghiệm.

Gọn hơn, ta có: $\frac{7}{14}=\frac{-5}{-10}\neq \frac{9}{10}$ nên hệ vô nghiệm.

Bài 2 trang 68 sgk đại số 10

Bài 2. Giải các hệ phương trình

a) $\left\{\begin{matrix} 2x - 3y = 1 & \\ x + 2y = 3;& \end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix} 3x + 4y = 5 & \\ 4x - 2y = 2;& \end{matrix}\right.$

c) $\left\{\begin{matrix} \frac{2}{3}x +\frac{1}{2}y =\frac{2}{3}& \\ \frac{1}{3}x - \frac{3}{4}y= \frac{1}{2}& \end{matrix}\right.$

d) $\left\{\begin{matrix} 0,3x - 0,2y =0,5 & \\ 0,5x + 0,4y = 1,2.& \end{matrix}\right.$

Hướng dẫn giải:

a) Giải bằng phương pháp thế: 2x – 3y = 1 => y = $\frac{2x -1}{3}$

Thế vào phương trình thứ hai:

x + 2( $\frac{2x -1}{3}$ ) = 3 => x = $\frac{11}{7}$ ; y = $\frac{2(\frac{11}{7})-1}{3}=\frac{5}{7}.$

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( $\frac{11}{7}$ ; $\frac{5}{7}$ ).

Giải bằng phương pháp cộng đại số: Nhân hai vế của phương trình thứ hai với -2 rồi cộng với phương trình thứ nhất ta được

$\left\{\begin{matrix} 2x - 3y =1 & \\ x + 2y = 3& \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} -7y = -5 & \\ x + 2y = 3& \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} y= \frac{5}{7} & \\ x =\frac{11}{7}& \end{matrix}\right.$ .

b) Giải tương tự câu a).

Đáp số: ( $\frac{9}{11}$ ; $\frac{7}{11}$ ).

c) Để tránh tính toán trên các phân số ta nhân phương trình thứ nhất với 6, nhân phương trình thứ hai với 12 <=> $\left\{\begin{matrix} 4x + 3y = 4 & \\ 4x - 9y = 6& \end{matrix}\right.$ lấy phương trình thứ nhất trừ đi phương trình thứ hai ta được: $\left\{\begin{matrix} 4x + 3y = 4 & \\ 12y =-2\end{matrix}\right.$ => $\left\{\begin{matrix} x = \frac{9}{8} & \\ y =-\frac{1}{6}\end{matrix}\right.$ .

d) Nhân mỗi phương trình với 10 ta được $\left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 5 & \\ 5x + 4y = 12\end{matrix}\right.$

Nhân phương trình thứ nhất với 2 cộng vào phương trình thứ hai ta được

<=> $\left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 5 & \\ 11x = 22\end{matrix}\right.$ => $\left\{\begin{matrix} x = 2 & \\ y = 0,5\end{matrix}\right.$ .

Bài 3 trang 68 sgk đại số 10

Bài 3. Hai bạn Vân và Lan đến cửa hàng mua trái cây. Bạn Vân mua 10 quả quýt, 7 quả cam với giá tiền là 17 800 đồng. Bạn Lan mua 12 quả quýt, 6 quả cam hết 18 000 đồng. Hỏi giá tiền mỗi quả quýt và mỗi quả cam là bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải:

Gọi x (đồng) là giá tiền một quả quýt và y (đồng) là giá tiền một quả cam. Điều kiện
x > 0, y > 0 ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 10x + 7y = 17800 & \\ 12x + 6y = 18000& \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} 10x + 7y = 17800 & \\ 2x + y = 3000& \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} 2x + y = 3000 & \\2y = 2800& \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix} x = 800 & \\y =1400& \end{matrix}\right.$ .

Trả lời: Giá tiền một quả quýt: 800 đồng, một quả cam 1400 đồng

Bài 4 trang 68 sgk đại số 10

Bài 4. Có hai dây chuyền may áo sơ mi. Ngày thứ nhất cả hai dây chuyền may được 930 áo. Ngày thứ hai do dây chuyền thứ nhất tăng năng suất 18%, dây chuyền thứ hai tăng năng suất 15% nên cả hai dây chuyền may được 1083 áo. Hỏi trong ngày thứ nhất mỗi dây chuyền may được bao nhiêu áo sơ mi ?

Hướng dẫn giải:

Gọi số áo may được của dây chuyền thứ nhất và thứ hai ngày thứ nhất theo thứ tự là x, y (cái) thì ngày thứ hai các dây chuyền ấy may được 1,18x (cái) và 1,15y (cái). Điều kiện x, y nguyên dương. Ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x + y =930 & \\ 1,18x + 1,15y = 1083& \end{matrix}\right.$ <=> x = 450; y = 480.

Kết luận: Ngày thứ nhất hai dây chuyền may được số áo tương ứng là 450 cái và 480 cái.

Bài 5 trang 68 sgk đại số 10

Bài 5. Giải các hệ phương trình

a) $\left\{\begin{matrix} x + 3y + 2z =8 & \\ 2x + 2y + z =6& \\ 3x +y+z=6;& \end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix} x - 3y + 2z =-7 & \\ -2x + 4y + 3z =8& \\ 3x +y-z=5.& \end{matrix}\right.$

Hướng dẫn giải:

a) x + 3y + 2z = 8 => x = 8 – 3y – 2z.

Thế vào phương trình thứ hai và thứ ba thì được

<=> $\left\{\begin{matrix} x= 8 - 3y -2z & \\ 2(8-3y-2z)+2y +z=6& \\ 3(8-3y-2z) +y+z=6& \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} x= 8 - 3y -2z & \\ 4y +3z=10& \\ 8y + 5z =18& \end{matrix}\right.$

Giải hệ hai phương trình với ẩn y và z:

$\left\{\begin{matrix} 4y +3z =10 & \\ 8y +5x =18& \end{matrix}\right.$ => $\left\{\begin{matrix} y=1 & \\ z=2& \end{matrix}\right.$ => $\left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=1& \\ z=2& \end{matrix}\right.$

Nghiệm của hệ phương trình ban đầu là (1; 1; 2).

Ghi chú: Ta cũng có thể giải bằng phương pháp cộng đại số như sau: Nhân phương trình thứ nhất với -2 rồi cộng vào phương trình thứ hai.

Nhân phương trình thứ nhất với -3 cộng vào phương trình thứ ba thì được

<=> $\left\{\begin{matrix} x+3y+2z=8 & \\ -4y-3z=-10& \\ -8y -5z=-18& \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} -4y -3z =-10 & \\ -8y -5z =-18& \end{matrix}\right.$ ta được kết quả như trên.

b) <=> $\left\{\begin{matrix} x - 3y +2z =-7 & \\ -2y + 7z = -6& \\ 10y - 7z =26& \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} x =\frac{11}{4} & \\ y =\frac{5}{2}& \\ z =-\frac{1}{7}& \end{matrix}\right.$ .

Bài 6 trang 68 sgk đại số 10

Bài 6. Một cửa hàng bán áo sơ mi, quần âu nam và váy nữ. Ngày thứ nhất bán được 12 áo, 21 quần và 18 váy, doanh thu là 5 349 000 đồng. Ngày thứ hai bán được 16 áo, 24 quần và 12 váy, doanh thu là 5 600 000 đồng. Ngày thứ ba bán được 24 áo, 15 quần và 12 váy, doanh thu là 5 259 000 đồng. Hỏi giá bán mỗi áo, mỗi quần và mỗi váy là bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải:

Đặt x, y, z theo thứ tự là giá tiền bán một áo sơ mi, một quần âu và một váy nữ. Điều kiện x, y, z >0. Ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 12x + 21y+18z =5349 & \\ 16x+24y+12z=5600& \\ 24x+15y+12z=5259& \end{matrix}\right.$ (nghìn đồng) <=> $\left\{\begin{matrix} x=98 & \\ y= 125 & \\ z=86& \end{matrix}\right.$

Vậy giá tiền một áo là 98 nghìn, một quần âu nam là 125 nghìn và váy nữ là 86 nghìn.

Bài 6 trang 68 sgk đại số 10

Bài 7. Giải các hệ phương trình sau bằng máy tính bỏ túi (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)

a) $\left\{\begin{matrix} 3x - 5y = 6 & \\ 4x + 7y =-8;& \end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix} -2x +3y = 5 & \\ 5x +2y = 4.& \end{matrix}\right.$

c) $\left\{\begin{matrix} 2x - 3y +4z=-5 & \\ -4x +5y-z=6& \\ 3x+4y-3z=7; & \end{matrix}\right.$

d) $\left\{\begin{matrix} -x+2y-3z=2 & \\ 2x +y+2z=-3& \\ -2x-3y+z=5. & \end{matrix}\right.$

Hướng dẫn giải:

a) Nếu sử dụng máy tính CASIO fx-500 MS ta ấn liên tiếp các phím

thấy hiện ra màn hình x = 0.048780487.

Ấn tiếp phím ta thấy màn hình hiện ra y = -1.170731707.

Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai ta được nghiệm gần đúng của hệ phương trình là $\left\{\begin{matrix} x\approx 0,05 & \\ y\approx -1,17& \end{matrix}\right.$
b) Ấn

Kết quả x = 0.105263157. Ấn tiếp kết quả y = -1.736842105.

c) Ấn

thấy hiện ra trên màn hình x=0.217821782.

Ấn tiếp phím ta thấy màn hình hiện ra y = 1.297029703.

Ấn tiếp phím trên màn hình hiện ra z = -0.386138613.

Vậy nghiệm gần đúng của hệ phương trình là (làm tròn kết quả đế chữ số thaaph phân thứ hai)

$\left\{\begin{matrix} x\approx 0,22 & \\ y\approx 1,30& \\ z\approx -0,39. & \end{matrix}\right.$

d) Thực hiện tương tự câu c).

Kết quả: x = -1.870967742;

y = -0.35483709;

z = 0.193548387.

Toán 10

Thầy Nguyễn Thế Anh

Call Us: 0986683218

Lý thuyết và bài tập về phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn – Toán lớp 10

Lý thuyết và bài tập về phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

A. Tóm tắt lý thuyết về phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

2. Giải và biện luận phương trình ax + by = c (ab ≠ 0)

3. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

4. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

B. Bài tập về phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Bài 1 trang 68 sgk đại số 10

Bài 2 trang 68 sgk đại số 10

Bài 3 trang 68 sgk đại số 10

Bài 4 trang 68 sgk đại số 10

Bài 5 trang 68 sgk đại số 10

Bài 6 trang 68 sgk đại số 10

Bài 6 trang 68 sgk đại số 10

Leave a Reply Cancel reply