Lý thuyết và bài tập về phương sai và độ lệch chuẩn

March 10, 2016

Lý thuyết và bài tập về phương sai và độ lệch chuẩn – Toán lớp 10

A. Lý thuyết về phương sai và độ lệch chuẩn – Toán lớp 10

1. Phương sai

Phương sai của một bảng số liệu là số đặc trưng cho độ phân tán của các số liệu so với số trung bình của nó. Phương sai của bảng thống kê dấu hiệu x, kí hiệu là s_x². Công thức tính phương sai như sau:

a) Đối với bảng phân bố rời rạc

n₁+ n₂ +…+ n_n = n

$S_{x}^{2}=\frac{1}{n}[n_{1}(x_{1}-\overline{x})^{2}+n_{2}(x_{2}-\overline{x})^{2}+...+n_{k}(x_{k}-\overline{x})^{2}]$

$=\frac{1}{n}(n_{1}x_{1}^{2}+n_{2}x_{2}^{2}+...+n_{k}x_{1}^{2})-(\overline{x})^{2}.$

trong đó $\overline{x}$ là số trung bình của bảng số liệu.

b) Đối với phân bố tần số ghép lớp.

$S_{x}^{2}=\frac{1}{n}[n_{1}(C_{1}-\overline{x})^{2}+n_{2}(C_{2}-\overline{x})^{2}+...+n_{k}(C_{k}-\overline{x})^{2}+].$

trong đó C_i (i = 1, 2,…, k) là giá trị trung tâm của lớp thứ i.

$\overline{x}$ là số trung bình của bảng.

2. Độ lệch chuẩn

Căn bậc hai của phương sai một bảng số liệu gọi là độ lệch chuẩn của bảng đó. Độ lệch chuẩn của dấu hiệu x, kí hiêu là S_x.

S_x= $\sqrt{S_{x}^{2}}.$

Ghi chú: các công thức về phương sai có thể viết gọn nhờ kí hiệu $\sum$ như sau:

$S_{x}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_{i}(x_{i}-\overline{x})^{2}= \sum_{i=1}^{n}f_{i}(x_{i}-\overline{x})^{2}$

= $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_{i}x_{i}^{2}-(\overline{x})^{2}=\sum_{i=1}^{k}f_{i}x_{i}^{2}-(\overline{x})^{2}.$

[su_button url=”https://www.nguyentheanh.com/dang-ki-khoa-hoc-cua-thay-nguyen-the-anh” target=”blank” style=”3d” background=”#ef9a2d” size=”5″ center=”yes” icon=”icon: arrow-down” icon_color=”#ffffff” text_shadow=”0px 0px 0px #09184e” desc=”Hoặc gọi thầy: 0986.683.218″]ĐĂNG KÍ HỌC LỚP 10[/su_button]

B. Bài tập về phương sai và độ lệch chuẩn – Toán lớp 10

Bài 1 trang 128 sgk đại số 10

1. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số đã được lập ở bài tập 1 và của bảng phân bố tần số ghép lớp cho ở bài tập 2 của $\S 1.$

Hướng dẫn.

a) Phương sai và độ lệch chuẩn trong bài tập 1. Bảng phân bố tần số viết lại là

Số trung bình: $\overline{x}$ = 1170 (xem bài tập 1 $\S 1$ )

Phương sai: $S_{x}^{2}=\frac{1}{30}(3x1150^{2}+6x1160^{2}+12x1170^{2}+6x1180^{2}+3x1190^{2})-1170^{2}$

= 120.

Độ lệch chuẩn: S_x.= $\sqrt{S_{x}^{2}}=\sqrt{120}$ ≈ 10,9545.

b) Phương sai và độ lệch chuẩn, bảng thống kê trong bài tập 2 $\S 1.$

$S_{x}^{2}=\frac{1}{60}(8x15^{2}+18x25^{2}+24x35^{2}+10x45^{2})$ – 31² = 84

S_x ≈ 9,165.

Bài 2 trang 128 sgk đại số 10

2. Hai lớp 10C, 10D của một trường Trung học phổ thông đồng thời làm bài thi môn Ngữ văn theo cùng một đề thi. Kết quả thi được thình bày ở hai bảng phân bố tần số sau đây:

Điểm thi Ngữ văn của lớp 10C

Điểm thi Ngữ văn của lớp 10D

a) Tính các số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn của các bảng phân bố tần số đã cho.

b) Xét xem kết quả làm bài thi của môn Ngữ văn ở lớp nào là đồng đều hơn?

Hướng dẫn.

a) Số trung bình điểm thi Ngữ văn của lớp 10C và 10D tương ứng là

$\overline{x}=\frac{1}{40}$ .(3×5 + 7×6 + 12×7 + 14×8 + 3×9 + 1×10) = 7,25

$\overline{y}=\frac{1}{40}$ .(8×6+18×7+10×8+4×9) = 7,25.

Phương sai bảng điểm thi Văn của hai lớp theo thứ tự là:

$S_{x}^{2}$ = 1,2875 $S_{y}^{2}$ = 0,7875.

Độ lệch chuẩn theo thứ tự là S_x ≈ 1,1347 S_y ≈ 0,8874.

b) Qua xem xét các số đặc trung ta thấy điểm trung bình thi văn 2 lớp 10C và 10D là như nhau (đều bằng 7,25). Nhưng phương sai của bảng điểm thi lớp 10D nhỏ hơn phương sai tương ứng ở lớp 10C. Điều đó chứng tỏ kết quả làm bài thi Văn ở lớp 10D đồng đều hơn.

Bài 3 trang 128 sgk đại số 10

3. Cho hai bảng phân bố tần số ghép lớp

Khối lượng của nhóm cá mè thứ 1

Khối lượng của nhóm cá mè thứ 2

a) Tính các số trung bình cộng của các bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho.

b) Tính phương sai của các bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho.

c) Xét xem nhóm cá nào có khối lượng đồng đều hơn?

Hướng dẫn.

a), b) Số trung bình cộng của nhóm cá thứ nhất:

$\overline{x}=\frac{1}{20}$ .(4×0,7 + 6×0,9 + 6×1.1 + 4×1,3) = 1

Phương sai: $S_{x}^{2}=\frac{1}{20}$ .(4×0,7² + 6×0,9² + 6×1,1² + 4×1,3²) – 1 = 0,042

Độ lệch chuẩn: S_x= 0,2

Đối với nhóm cá thứ hai:

Số trung bình: $\overline{y}=\frac{1}{20}$ .(3×0,6 + 4×0,8 + 6×1 + 4×1,2 + 3×1,4) = 1

Phương sai: $S_{x}^{2}=\frac{1}{20}$ .(3×0,6² + 4×0,8² + 6×1² + 4×1,2² + 3×1,4²) – 1 = 0,064

Độ lệch chuẩn: S_x= $\sqrt{0,064}$ ≈ 0,25.

c) Ta thấy $\overline{x}=\overline{y}$ = 1, trọng lượng trung bình hai nhóm cá bằng nhau nhưng $S_{x}^{2}$ < $S_{y}^{2}$ chứng tỏ mức độ phân tán các giá trị so với giá trị trung bình của nhóm cá thứ hai lớn hơn. Nghĩa là khối lượng nhóm cá thứ nhất đồng đều hơn nhóm cá thứ hai.

Toán

| Tags: Độ lệch chuẩn, Phương saiitconsultant

Thầy Nguyễn Thế Anh

Call Us: 0986683218