Lý thuyết và bài tập về đường thẳng – Toán hình 10

A. Lý thuyết về đường thẳng – Toán hình 10

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Định nghĩa :

vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu ≠  và giá của  song song hoặc trùng với ∆

Nhận xét :

– Nếu là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì k( k≠ 0) cũng là một vectơ chỉ phương của ∆ , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết môt điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

– Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀ ;y₀) và nhận vectơ   = (u₁ ; u₂) làm vectơ chỉ phương là :

∆ : 

-Khi hệ số u₁ ≠ 0 thì tỉ số k=  được gọi là hệ số góc của đường thẳng.

Từ đây, ta có phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀ ;y₀) và có hệ số góc k là:

y – y₀ = k(x – x₀)

Chú ý: Ta đã biết hệ số góc k = tanα với góc α là góc của đường thẳng ∆ hợp với chiều dương của trục Ox

3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 

Định nghĩa: Vectơđược gọi là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu  ≠  và vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆

Nhận xét:

– Nếu n  là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì k n(k ≠ 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của ∆, do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến.

– Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.

4. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trinh tổng quát của đường thẳng.

Trường hợp đặc biết:

+  Nếu a = 0 => y = b;  ∆ // Ox

+ Nếu b = 0 => x = -b/a; ∆ // Oy

+ Nếu c = 0 => ax + by = 0 =>  ∆ đi qua gốc tọa độ

+ Nếu ∆ cắt Ox tại (a; 0) và Oy tại B (0; b) thì ta có phương trình đường thẳng ∆ theo đoạn chắn:

x/a + y/b= 1

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng  ∆₁ và ∆₂ 

có phương trình tổng quát lần lượt là :

a₁x+b₁y + c₁ = 0 và a ₂+ b₂y +c₂ = 0

Điểm M₀(x₀ ;y₀) là điểm chung của  ∆₁ và ∆₂  khi và chỉ khi (x₀ ;y₀) là nghiệm của hệ hai phương trình:

 

(1)  

Ta có các trường hợp sau:

a) Hệ (1) có một nghiệm: ∆₁ cắt ∆₂

b) Hệ (1) vô nghiệm: ∆₁ // ∆₂

c) Hệ (1) có vô số nghiệm: ∆₁ = ∆₂

6.Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ cắt nhau tạo thành 4 góc. Nếu ∆₁ không vuông góc với ∆₂thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂. Nếu ∆₁ vuông góc với  ∆₂ thì ta nói góc giữa ∆₁ và ∆₂bằng  90⁰  .Trường hợp  ∆₁ và ∆₂ song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa  ∆₁ và ∆₂ bằng 0⁰. Như vậy gương giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng  90⁰  

Góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ được kí hiệu là 

Cho hai đường thẳng  ∆₁ = a₁x+b₁y + c₁ = 0 va ∆₂ =  a ₂+ b₂y +c₂ = 0⁰ 

Đặt cos  = 

Chú ý:

+  ∆₁  ⊥ ∆₂ <=> n_{1 ⊥}  n₂  <=> a₁a₂+ b₁b₂ = 0

+ Nếu ∆₁ và ∆₂ có phương trình y = k₁ x + m₁ và y = k₂ x + m₂ thì

∆₁  ⊥ ∆₂ <=>  k₁.k_{2 =} -1.

7.Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ∆ có phương trình ax+by + c = 0 và điểm M₀(x₀ ;y₀).Khoảng cách từ điểm M₀ đến đường thẳng  ∆ kí hiệu là (M_{0 ;}∆), được tính bởi công thức

d(M_{0 ;}∆) = 

[su_button url=”https://www.nguyentheanh.com/dang-ki-khoa-hoc-cua-thay-nguyen-the-anh” target=”blank” style=”3d” background=”#ef9a2d” size=”5″ center=”yes” icon=”icon: arrow-down” icon_color=”#ffffff” text_shadow=”0px 0px 0px #09184e” desc=”Hoặc gọi thầy: 0986.683.218″]ĐĂNG KÍ HỌC LỚP 10[/su_button]

B. Lý thuyết về đường thẳng – Toán hình 10

Bài 1 trang 80 sgk hình học 10

1.Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

Bài 1 (trang 80 SGK Hình học 10): Lập phương trình tham số của đường thằng d trong mỗi trường hợp sau:

a) đi qua điểm M(2; 1) và có vectơ chỉ phương = (3;4)

b) d đi qua điểm M(-2; 3) và có vec tơ pháp tuyến = (5; 1)

 

 

Bài 2 trang 80 sgk hình học 10

2.Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:

a) ∆ đi qua điểm M (-5; -8) và có hệ số góc k = -3

b) ∆ đi qua hai điểm A(2; 1) và B(-4; 5)

Bài 2 (trang 80 SGK Hình học 10): Lập phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong mỗi trường hợp sau:

Lời giải

Hướng dẫn:

a) Phương trình của ∆ là : y + 8 = -3(x + 5)  <=> 3x + y + 23 = 0

b) Đường thẳng ∆ đi qua A(2; 1) và B(-4; 5) nhận vectơ = (=6; 4) là một vectơ chỉ phương

Phương trình tham số của ∆ :

∆ :   

Khử t giữa hai phương trình ta được phương trình tổng quát:

∆ : 2x + 3y – 7 = 0

Bài 3 trang 80 sgk hình học 10

Bài 3 (trang 80 SGK Hình học 10): Cho tam giác ABC biết A(1; 4), B(3; -1) và C(6; 2).

a, Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, AC và CA.

b, Lập phương trình tổng quát của đường cao AH và trung tuyến AM.

Lời giải

3.Cho tam giác ABC, biết A(1; 4), B(3; -1) và C(6; 2)

a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC, và CA

b) Lập phương trinh tham số của đường thẳng AH và phương trình tổng quát của trung tuyến AM

Hướng dẫn:

a) Ta có = (2; -5). Gọi M(x; y) là 1 điểm nằm trên đường thẳng AB thì AM = (x – 1; y – 4). Ba điểm A, B, M thẳng hàng nên hai vec tơ và cùng phương, cho ta:

=  <=>   5x + 2y -13 = 0

Đó chính là phương trình đường thẳng AB.

Tương tự ta có phương trình đường thẳng BC: x – y -4 = 0

phương trình đường thẳng CA: 2x + 5y -22 = 0

b) Đường cao AH là đường thẳng đi qua A(1; 4) và vuông góc với BC.

= (3; 3)  => ⊥  nên  nhận vectơ  = (3; 3) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình tổng quát:

AH : 3(x – 1) + 3(y -4) = 0

3x + 3y – 15 = 0

=> x + y – 5 = 0

Gọi M là trung điểm BC ta có M (; )

Trung tuyến AM là đường thẳng đi qua hai điểm A, M. Theo các viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm trong câu a) ta viết được:

AM : x + y – 5 = 0

Bài 4 trang 80 sgk hình học 10

4.Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M(4; 0) và N(0; -1)

Hướng dẫn:

Phương trình đường thẳng MN:

 +  = 1    => x – 4y – 4 = 0

Bài 5 trang 80 sgk hình học 10

Bài 5 (trang 80 SGK Hình học 10): Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d₁ và d₂ sau đây:

Lời giải

5.Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

a) d₁ 4x – 10y + 1 = 0     ;             d₂  : x + y + 2 = 0

b)d₁  :12x – 6y + 10 = 0  ;             d₂  :  

c) d₁ :8x + 10y – 12 = 0  ;              d₂   :  

Hướng dẫn:

a) Xét hệ 

D = 4.1 = 10.1 = -6  ≠ 0

Vậy d₁ và d₂ cắt nhau

b) Tương tự, ta có: d₁  :12x – 6y + 10 = 0  ;

d₂= 2x – y – 7 = 0

D = 12 . (-1) -(-6).2 = -12 + 12 = 0

Dx = (-6) . (-7) – (-1). 10 = 42 + 10 = 52 ≠ 0

Vậy d₁ // d₂ 

c) Tương tự, ta có   d₁: 8x + 10y – 12 = 0

d₂: 4x + 5y – 6 = 0

D    = 8 . 5 – 4 . 10 = 0

Dx  = 10. (-6) – (-12) . 5 = 0

D_y  = (-12) . 4 – (-6) . 8 = 0

Vậy d₁ trùng  d₂ 

Chú ý:

1. Ta có thể thấy 8x + 10y – 12 = 0  ;    <=> 4x + 5y -6 = 0

d₁ và d₂ 

cùng có phương trình là 4x + 5y -6 = 0

Vậy chúng trùng nhau.

2. Ta cũng có thể giải bằng cách xét vectơ chỉ phương:

d₁ có vectơ chỉ phương  = (10; 4)

d₂  vectơ chỉ phương   = (2; -2)

Vì   ≠   => và không cùng phương => Vậy d₁ và d₂ cắt nhau

Bài 6 (trang 80 SGK Hình học 10):

Lời giải

Bài 7 trang 81 sgk hình học 10

7. Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂

lần lượt có phương trình:

d₁ : 4x – 2y + 6 = 0         và              d₂ : x – 3y + 1 = 0

Hướng dẫn:

 

 

Bài 8 trang 81 sgk hình học 10

8. Tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau:

a) A(3; 5)    ∆ : 4x + 3y + 1 = 0;

b) B(1; -2)   d: 3x – 4y – 26 = 0;

c) C(1; 2)    m: 3x + 4y – 11 = 0;

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức:

Bài 7 (trang 81 SGK Hình học 10): Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình: d₁: 4x – 2y + 6 = 0 và d₂: x – 3y + 1 = 0

Lời giải

Bài 8 (trang 81 SGK Hình học 10): Tìm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau:

a, A(3; 5) và Δ : 4x + 3y +1 = 0

 

Bài 9 trang 81 sgk hình học 10

9. Tìm bán kính của đường tròn tâm C(-2; -2) và tiếp xúc với đường thẳng

∆ : 5x + 12y – 10 = 0 .

Bài 9 (trang 81 SGK Hình học 10): Tìm bán kính của đường tròn tâm C(-2; -2) tiếp xúc với đường thẳng Δ : 5x + 12y -10 = 0.

Lời giải

Hướng dẫn:

Bán kính R của đường tròn tâm C(-2; -2) và tiếp xúc với đường thẳng

∆ : 5x + 12y – 10 = 0 thì bằng khoảng cách từ C đến ∆