Tóm tắt kiến thức về nhị thức Newton

I. Nhị thức Newton

1. Công thức nhị thức Newton

Với a, b là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có:

(a+b)n = C0nan+C1nan−1b+C2nan−2b2+…+Cn−1nabn−1+Cnnbn   (1)

2. Quy ước

Với a là số thực khác 0 và n là số tự nhiên khác 0, ta quy ước:

a0 = 1; a−n=1an

3. Chú ý

Với các điều kiện và quy ước ở trên, đồng thời thêm điều kiện a và b đều khác 0, có thể viết công thức (1) ở dạng sau đây:

(a+b)n = ∑k=0nCknan−kbk = ∑k=0nCknakbn−k

II. Tam giác Pascal

1. Mô hình của tam giác Pascal

Ứng dụng tam giác pascal khai triển (x−y)n

2. Cấu tạo của tam giác Pascal

– Số đầu tiên và cuối cùng đều bằng 1

– Xét hai số ở cột k và cột k + 1, đồng thời cùng thuộc dòng n, (k ≥ 0; n ≥1), ta có: tổng của hai số này bằng số đứng ở giao của cột k + 1 và dòng n + 1.

3. Tính chất của tam giác Pascal

Từ cấu tạo của tam giác Pascal, có thể chứng minh được rằng:

a) Giao của dòng n và cột k là Ckn

b) Các số của tam giác Pascal thỏa mãn công thức Pascal:

Ckn + Ck+1n = Ck+1n+1

c) Các số ở dòng n là các hệ số trong khai triển của nhị thức (a+b)n (theo công thức nhị thức Newton), với a, b là hai số thực tùy ý. Chẳng hạn, các số ở dòng 4 là các hệ số trong khai triển của (a+b)4 (theo công thức nhị thức Niu – Tơn) dưới đây:

(a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4