LÝ THUYẾT TỔ HỢP XÁC SUẤT

• “Lý thuyết tổ hợp xác suất” gồm có 7 phần chính: Qui tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp, nhị thức Newton và xác suất (trong phần Xác suất có 2 phần: Biến cố và Xác suất + Biến ngẫu nhiên rời rạc).
• Để có thể học tốt phần tổ hợp xác suất, việc tìm và hiểu kĩ về lý thuyết tổ hợp xác suất vô cùng quan trọng bởi chỉ khi có thể nắm chắc lý thuyết tổ hợp xác suất ta mới có thể làm bài tập.

PHỤ HUYNH VÀ HỌC SINH CÓ THỂ TÌM HIỂU THÊM:

Tổ hợp xác suất – Những điều cần biết

Bài tập tổ hợp xác suất

Công thức tổ hợp xác suất lớp 11

I. Qui tắc đếm:

1. Qui tắc cộng:

Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo 1 trong 2 phương án A hoặc B. Nếu phương án A có a cách thực hiện, phương án B có b cách thực hiện (không trùng với bất kỳ cách nào trong phương án A) thì công việc đó có a+b cách thực hiện.

2. Qui tắc nhân:

Một công việc nào đó bao gồm 2 công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có a cách thực hiện, ứng với a cách thực hiện đó có b cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có a.b cách thực hiện.

II. Hoán vị:

1. Giai thừa:

n! = 1.2.3….n = (n-1)! . n

= (p+1)(p+2)…..n ( Với n > p)

*Qui ước: 0! = 1

2. Hoán vị (không lặp)

Một tập hợp gồm n phần tử (n≥1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là 1 hoán vị của n phần tử.

Số các hoán vị của n phần tử là: P_n = n!

3. Hoán vị lặp:

Cho k phần tử khác nhau a₁, a₂,…,a_k. Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n₁ phần tử a₁, n₂ phần tử a₂,…., n_k phần tử a_k (n₁+n₂+…+n_k = n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị lặp cấp n và kiểu (n₁,n₂,…,n_k) của k phần tử.

Số hoán vị lặp cấp n và kiểu (n₁,n₂,…,n_k) của k phần tử là:

4. Hoán vị vòng quanh:

Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử thuộc tập A thành 1 dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử.

Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là Q_n = (n-1)!

III. Chỉnh hợp:

1.Chỉnh hợp (không lặp):

– Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1≤k≤n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.

– Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

-Công thức trên cũng đúng trong trường hợp k = 0 hoặc k = n

– Khi k = n thì Aⁿ_n = P_n = n!

2. Chỉnh hợp lặp:

– Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo 1 thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập A.

– Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử :      

IV. Tổ hợp:

1. Tổ hợp không lặp:

• Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1≤k≤n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
• Số các tổ hợp chập k của n phần tử: 
• Qui ước:

• Tính chất:

2. Tổ hợp lặp:

Cho tập A = {a₁,a₂,…,a_n}  và số tự nhiên k bất kỳ. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một tổ hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.

Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử:           

V. Phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp:

Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức: 

• Chỉnh hợp có thứ tự.
• Tổ hợp không có thứ tự.

⇒ Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào các vị trí của các phần tử thì ta sẽ dùng chỉnh hợp. Ngược lại là tổ hợp.

Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử:

• Không có thứ tự, không hoàn lại: 
• Có thứ tự, không hoàn lại: 
• Có thứ tự, có hoàn lại: 

VI. Nhị thức Newton:

1. Công thức khai triển nhị thức Newton:

• ∀n∈N và với mọi cặp số a, b; ta có:

2. Tính chất:

• Số các số hạng của khai triển bằng n+1
• Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
• Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: 
• Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau: 
• 
• 

*Nhận xét: Trong khai triển nhị thức Newton, nếu ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt . Chẳng hạn:

 ⇒ 

 ⇒ 

VII. Xác suất (chuyên đề tổ hợp xác suất):

1. Biến cố và xác suất:

a. Biến cố:

• Không gian mẫu Ω là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử .
• Biến cố A là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A (A⊂Ω)
• Biến cố không: ∅
• Biến cố chắc chắn: Ω
• Biến cố đối của A:  = Ω \ A
• Hợp 2 biến cố: A ∪ B
• Giao 2 biến cố: A ∩ B (hoặc A.B)
• Hai biến cố xung khắc: A ∩ B = ∅
• Hai biến cố được gọi là 2 biến cố độc lập nếu việc xảy ra biến cố này không làm ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia.

b. Xác suất:

• Xác suất của biến cố: 
• 0 ≤ P(A) ≤ 1
• P(Ω) = 1 ; P(∅)= 0
• Qui tắc cộng:

+) Nếu A ∩ B = ∅ thì P(A∪B) = P(A) + P(B)

+) Nếu A, B bất kì thì P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A.B)

• 
• Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B)= P(A).P(B)

2. Biến ngẫu nhiên rời rạc:

a. Biến ngẫu nhiên rời rạc:

b. Kì vọng (giá trị trung bình):

μ = E(X) = 

c. Phương sai và độ lệch chuẩn:

⇒ Như vậy, lý thuyết tổ hợp xác suất có đến 7 phần lớn và khá nhiều phần nhỏ trong đó. Có thể thấy, lý thuyết tổ hợp xác suất khá nhiều và phức tạp. Để có thể nắm chắc kiến thức về lý thuyết tổ hợp xác suất, ta cần phải đọc thật kĩ và hiểu thật rõ phần kiến thức trên.