Hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c

Khảo sát hàm số bậc nhất y = ax² + bx + c (a ≠ 0):

TXĐ : D = R.

Tọa độ đỉnh I (-b/2a; f(-b/2a)). f(-b/2a) = -Δ/4a

Trục đối xứng : x = -b/2a

Tính biến thiên :

• a > 0 hàm số nghịch biến trên (-∞; -b/2a). và đồng biến trên khoảng (-b/2a; +∞)
• a < 0 hàm số đồng biến trên (-∞; -b/2a). và nghịch biến trên khoảng (-b/2a; +∞)

bảng biến thiên :

a > 0

x	-∞		-b/2a		+∞
y	+∞		f(-b/2a)		+∞

a < 0

x	-∞		-b/2a		+∞
y	-∞		f(-b/2a)		-∞

Đồ thị :

Đồ thị hàm số ax² + bx + c là một đường parabol (P) có:

• đỉnh I (-b/2a; f(-b/2a)).
• Trục đối xứng : x = -b/2a.
• parabol (P) quay bề lõm lên trên nếu a > 0, parabol (P) quay bề lõm xuống dưới nếu a < 0.

=========================================================

BÀI TẬP SGK :

Bài 2 trang 49 SGKCB :

lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số :

a)y = 3x² – 4x + 1

d)y = -x² – 4x – 4

giải.

a)y = 3x² – 4x + 1 ( a = 3; b =-4; c = 1)

TXĐ : D = R.

Tọa độ đỉnh I (2/3; -1/3).

Trục đối xứng : x = 2/3

Tính biến thiên :

a = 3 > 0 hàm số nghịch biến trên (-∞; 2/3). và đồng biến trên khoảng 2/3 ; +∞)

bảng biến thiên :

x	-∞		2/3		+∞
y	+∞		-1/3		+∞

Các điểm đặc biệt :

(P) giao trục hoành y = 0 :  3x² – 4x + 1 = 0 <=> x = 1 v x = ½

(P) giao trục tung : x = 0 => y = 1

Đồ thị :

Đồ thị hàm số y = 3x² – 4x + 1 là một đường parabol (P) có:

• đỉnh  I(2/3; -1/3).
• Trục đối xứng : x = 2/3.
• parabol (P) quay bề lõm lên trên .

d)y = -x² + 4x – 4

TXĐ : D = R.

Tọa độ đỉnh I (2; 0).

Trục đối xứng : x = 2

Tính biến thiên :

a = -1 < 0 hàm số đồng biến trên (-∞; 2). và nghịch biến trên khoảng 2 ; +∞)

bảng biến thiên :

x	-∞		2		+∞
y	-∞		0		-∞

Các điểm đặc biệt :

(P) giao trục hoành y = 0 :  -x² + 4x – 4 = 0 <=> x = 2

(P) giao trục tung : x = 0 => y = -4

Đồ thị :

Đồ thị hàm số y = -x² + 4x – 4 là một đường parabol (P) có:

• đỉnh  I(2; 0).
• Trục đối xứng : x = 2.

parabol (P) quay bề lõm xuống dưới .

===================================================================

BÀI TẬP BỔ SUNG :

BÀI 1 :

Cho hàm số :y = f(x)  = ax² + 2x – 7 (P).

Tìm a để đồ thị (P) đi qua A(1, -2)

GIẢI.

Ta có : A(1, -2)  (P), nên : -2  = a.1² + 2.1 – 7 ⇔   a = 3

Vậy : y = f(x)  = 3x² + 2x – 7 (P)

BÀI 2 :

Cho hàm số :y = f(x)  = ax² + bx + c (P).

Tìm a, b, c  để đồ thị (P) đi qua A(-1, 4) và có đỉnh S(-2, -1).

GIẢI.

Ta có : A(-1, 4)  (P), nên : 4 = a – b + c (1)

Ta có : S(-2, -1)  (P), nên : -1 = 4a – 2b + c (2)

(P) có đỉnh S(-2, -1), nên : x_S =   ⇔ 4a – b = 0 (3)

Từ (1), (2) và (3), ta có hệ :

⇔ 

Vậy : y = f(x)  = 5x² + 20x + 19 (P)

==========================================

BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

BÀI 1 :

cho hàm số bậc hai :  y = f(x)  = x² + 2mx + 2m – 1 (P_m). đường thẳng (d) : y = 2x – 3

1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
2. Tìm m để (P_m) tiếp xúc (d).
3. Tìm m để (d) cắt (P_m) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho tam giác OAB vuông tại O.

BÀI 2 :

Cho hàm số :y = f(x)  = ax² + bx + 3 (P). tìm phương trình (P) :

1. (P) đi qua hai điểm A(1, 0) và B(2, 5).
2. (P) tiếp xúc trục hoành tại x = -1.
3. (P) đi qua điểm M(-1, 9) và có trục đối xứng là x = -2.

BÀI 3 :

y = f(x)  = x² – 4|x|  (P)

1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (P).
2. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm :  x² – 4|x|  + 2m – 3 = 0.

Bài 4 :

y = f(x)  = -2x² +4x – 2 (P) và (D) : y = x + m.

1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (P).
2. Xác định m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B thỏa AB = 2.