Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bài 51 trang 61 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: 

Cho một số có hai chữ số. Tổng hai chữ số của chúng bằng 10. Tích hai chữ số ấy nhỏ hơn chữ số đã cho là 12. Tìm số đã cho.

Lời giải:

Gọi x là chữ số hàng chục. Điều kiện: x ∈N*, x ≤ 9

Ta có chữ số hàng đơn vị là 10 – x

Giá trị của số cần tìm là: 10x + 10 – x = 9x + 10

Vì tích của hai chữ số nhỏ hơn chữ số đã cho là 12 nên ta có phương trình:

x(10 – x) = 9x + 10 – 12

⇔ 10x – x² = 9x – 2 ⇔ x² – x – 2 = 0

Phương trình x² – x – 2 = 0 có hệ số a = 1, b = -1, c = -2 nên có dạng :

a – b + c = 0 suy ra: x₁ = -1 (loại), x₂ = -( -2)/1 = 2

Chữ số hàng chục là 2, chữ số hàng đơn vị là 10 – 2 = 8

Vậy số cần tìm là 28.

Bài 52 trang 61 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: 

Trong một phòng họp có 360 ghế được xếp thành các dãy và số ghế trong mỗi dãy đều bằng nhau. Có một lần phòng họp phải xếp thêm một dãy tăng một ghế (số ghế trong các dãy vẫn bằng nhau) để đủ chỗ cho 400 đại biểu. Hỏi bình thường trong phòng có bao nhiêu dãy ghế?

Lời giải:

Gọi x (dãy) là số dãy ghế ban đầu của phòng họp.

Điều kiện: x ∈N*

Khi đó số ghế ngồi trong một dãy là: 360/x (ghế)

số dãy ghế sau khi tăng là x + 1 (dãy)

số ghế ngồi trong một dãy sau khi tăng là:

Theo đề bài, ta có phương trình: 

= 1 ⇔ 400x – 360(x + 1) = x(x + 1)

⇔ 400x – 360x – 360 = x² + x ⇔ x² – 39x + 360 = 0

∆ = (-39)² – 4.1.360 = 1521 – 1440 = 81 > 0

√∆ = √81 = 9

Cả hai giá trị của x đều thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy bình thường trong phòng có 15 hoặc 24 dãy ghế.

 

Bài 53 trang 61 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: 

Một công ty vận tải dự định dùng loại xe lớn để chở 15 tấn rau theo một hợp đồng. Nhưng khi vào việc, công ty không còn xe lớn nên phải thay bằng những xe có trọng tải nhỏ hơn nửa tấn. Để đảm bảo thời gian đã hợp đồng, công ty phải dùng một số lượng xe nhiều hơn dự định là 1 xe. Hỏi trọng tải của mỗi xe nhỏ là bao nhiêu tấn?

Lời giải:

Gọi x (tấn) là trọng tải của xe nhỏ. Điều kiện: x > 0

Khi đó trọng tải của xe lớn là x + 0,5 (tấn)

số lượng xe lớn dự định để chở là 15/(x + 0,5) (xe)

Theo đề bài, ta có phương trình:

Giá trị x = -3 không thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy trọng tải của xe nhỏ là 2,5 tấn.

Bài 54 trang 61 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: 

Một tổ máy trộn bê tông phải sản xuất 450m³ bê tông cho một đập thủy lợi trong một thời gian quy định. Nhờ tăng năng suaast mỗi ngày 4,5m3 nên 4 ngày trước thời gian quy định tổ đã sản xuất được 96% công việc. Hỏi thời gian quy định là bao nhiêu ngày?

Lời giải:

Gọi x (ngày) là thời gian hoàn thành công việc theo quy định.

Điều kiện: x > 4

Khi đó năng suất làm việc theo quy định là 450/x (m³)

Số lượng bê tông tổ sản xuất được khi đạt 96% công việc là:

⇔ 432x – 450(x – 4) = 4,5x(x – 4)

⇔ 432x – 450x + 1800 = 4,5x² – 18x ⇔ 4,5x² – 1800 = 0

⇔ 4,5x² = 1800 ⇔ x² = 400 ⇔ x = 20 hoặc x = -20

Giá trị x = -20 không thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy thời gian quy định để hoàn thành công việc là 20 ngày.

 

Bài 55 trang 61 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

 Người ta trộn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có khối lượng riền nhỏ hơn là 0,2g/cm³ để được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 0,7g/cm³. Tính khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.

Lời giải:

Gọi x (g/cm³) là khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai.

Điều kiện: x > 0

Ta có khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là x + 0,2 (g/cm³)

Thể tích của chất lỏng thứ nhất là 8/(x + 0,2) (cm³)

Thể tích của hỗn hợp là (8 + 6)/(0,7) = 20 (cm³)

Theo đề bài, ta có phương trình:

8/(x + 0,2) + 6/x = 20 ⇔ 8x + 6(x + 0,2) = 20x(x + 0,2)

⇔ 8x + 6x + 1,2 = 20x² + 4x ⇔ 20x² – 10x – 1,2 = 0

∆’ = (-5)² – 20.(-1,2) = 25 + 24 = 49 > 0

∆’ = 49 = 7

x₁ = (5 + 7)/20 = 12/20 = 0,6; x₂ = (5 – 7)/20 = -2/20 = -0,1

Giá trị x = -0,1 không thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai là 0,6 g/cm³

khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là 0,8 g/cm³

Bài 57 trang 61 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

 Hai sân bay Hà Nội và Đà Nẵng cách nhau 600km. Một máy bay cánh quạt từ Đà Nẵng đi Hà Nội. Sau đó 10 phút, một máy bay phản lực từ Hà Nội bay đi Đà Nẵng với vận tốc lớn hơn vận tốc của máy bay cánh quạt là 300km/h. Nó đến Đà Nẵng trước khi máy bay kia đến Hà Nội 10 phút. Tính vận tốc của mỗi máy bay.

Lời giải:

Gọi x (km/h) là vận tốc của máy bay cánh quạt. Điều kiện: x > 0

Ta có vận tốc của máy bay phản lực là x + 300 (km/h)

Thời gian máy bay cánh quạt bay là 600/x (giờ)

Thời gian máy bay phản lực bay là 600/(x + 300) (giờ)

Máy bay phản lực bay sau 10 phút và đến trước 10 phút nên thời gian máy bay phản lực bay ít hơn máy bay cánh quạt là:

10 phút + 10 phút = 20 phút = 1/3 (giờ)

Theo đề bài, ta có phương trình:

Giá trị x = -900 không thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy vận tốc của máy bay cánh quạt là 600 km/h.

vận tốc của máy bay phản lực là 600 + 300 = 900 km/h

Bài 60 trang 62 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

 Một bè gỗ được thả trôi trên sông từ đập Y-a-ly. Sau khi thả bè gỗ 5 giờ 20 phút, một xuồng máy cũng xuất phát từ đập Y-a-ly đuổi theo và đi được 20km thì gặp bè. Tính vận tốc của bè biết rằng xuồng máy chạy nhanh hơn bè 12km/h

Lời giải:

Gọi x (km/h) là vận tốc của bè gỗ. Điều kiện: x > 0

Khi đó vận tốc của xuồng máy là x + 12 (km/h)

thời gian bè từ lúc trôi đến lúc gặp xuồng là 20/x (giờ)

thời gian xuồng từ lúc đi đến lúc gặp bè là 20/(x + 12) (giờ)

Bè gỗ trôi trước xuồng máy 5 giờ 20 phút = 5.(1/3) (giờ) = 16/3 (giờ)

Theo đề bài, ta có phương trình:

Giá trị x = -15 không thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy vận tốc trôi của bè gỗ là 3km/h

 

Bài 61 trang 62 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

 Nếu mở cả hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy nước. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòng chảy bao lâu sẽ đầy bể?

Lời giải:

Gọi x (giờ) là thời gian chảy riêng đầy bể của vòi thứ nhất.

Điều kiện: x > 2.(11/12) = 35/12

Khi đó thời gian chảy riêng đầy bể của vòi thứ hai là x + 2 (giờ)

trong 1 giờ, vòi thứ nhất chảy được 1/x (bể)

trong 1 giờ, vòi thứ hai chảy được 1/(x + 2 ) (bể)

Giá trị x = – 7/6 không thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 5 giờ

vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 5 + 2 = 7 giờ

 

Bài 62 trang 62 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

 Hai đội công nhân cùng làm một quãng đường thì 12 ngày xong việc. Nếu đội thứ nhất làm một mình hết nửa công việc, rồi đội thứ hai tiếp tục một mình làm nốt phần việc còn lại thì hết tất cả 25 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong công việc?

Lời giải:

Gọi x (ngày) là thời gian đội thứ nhất làm riêng xong nửa công việc. Điều kiện: 6 < x < 25

Khi đó thời gian làm riêng xong nửa công việc của đội thứ hai là: 25 – x (ngày)

trong 1 ngày, đội thứ nhất làm được 12/x (công việc)

trong 1 ngày, đội thứ hai làm được 1/[2.(25 – x)] (công việc)

trong 1 ngày, cả hai đội làm được 1/12 (công việc)

Theo đề bài, ta có phương trình:

Cả hai giá trị của x đều thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy đội thứ nhất làm riêng xong công việc trong 15.2 = 30 ngày

đội thứ hai làm riêng xong công việc trong 20 ngày

hoặc đội thứ nhất làm riêng xong công việc trong 10.2 = 20 ngày

đội thứ hai làm riêng xong công việc trong 30 ngày.

Bài 63 trang 62 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

 Cho một tam giác ABC vuông cân có AB = AC = 12cm. Điểm M chạy trên AB. Tứ giác MNCP là một hình bình hành có đỉnh N thuộc cạnh AC (hình bên). Hỏi khi M cách A bao nhiêu thì diện tích của hình bình hành bằng 32cm²?

Lời giải:

Gọi x (cm) là độ dài đoạn AM.

Điều kiện: 0 < x < 12

Vì ∆ABC vuông cân tại A nên ∆BMP vuông cân tại M.

Suy ra MP = MB = AB – AM = 12 – x (cm)

Diện tích hình bình hành MNCP bằng MP.MA = (12 – x)x (cm²)

Theo đề bài, ta có phương trình:

(12 – x)x = 32 ⇔ x² – 12x + 32 = 0

∆’ = (-6)² – 1.32 = 36 – 32 = 4 > 0

√∆’ = √4 = 2

Cả hai giá trị của x đều thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy điểm M cách điểm A 8cm hoặc 4cm thì diện tích hình bình hành MNCP bằng 32cm².

Bài 64 trang 62 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

 Chu vi bánh sau của một máy cày lớn hơn chu vi bánh trước là 1,5m. Khi đi trên đoạn đường dài 100m thì bánh trước quay nhiều hơn bánh sau 15 vòng. Tính chu vi của mỗi bánh xe.

Lời giải:

Gọi x (m) là chu vi bánh trước. Điều kiện: x > 0

Khi đó chu vi bánh sau là x + 1,5 (m)

số vòng quay của bánh trước là 100x (vòng)

số vòng quay của bánh sau là 100/(x + 1,5) (vòng)

Theo đề bài, ta có phương trình: 100/x – 100/(x + 1,5) = 15

⇔ 100(x + 1,5) – 100x = 15x(x + 1,5)

⇔ 100x + 150 – 100x = 15x² + 22,5x

⇔ 15x² + 22,5x – 150 = 0 ⇔ 2x² + 3x – 20 = 0

∆ = 3² – 4.2.(-20) = 9 + 160 = 169 > 0

√∆ = √169 = 13

Giá trị x = -4 không thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy chu vi bánh xe trước là 2,5m

chu vi bánh xe sau là 2,5 + 1,5 = 4m

 

Bài 65 trang 62 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

 Bài toán cổ Ấn Độ:

Một đàn khỉ chia thành hai nhóm

Nhóm chơi đùa vui vẻ ngoài trời

Bằng bình phương một phần tám của đàn

Mười hai con nhảy nhót trên cây

Không khí tươi vui sưởi ấm nơi này

Hỏi có tất cả bao nhiêu con khỉ?

Lời giải:

Gọi x (con) là số khỉ trong đàn. Điều kiện: x ∈N*, x chia hết 8

Khi đó nhóm chơi đùa ngoài trời có (x/8 )² (con)

nhóm nhảy nhót trên cây có 12 (con)

Theo đề bài, ta có phương trình: x= (x/8 )² + 12

⇔ x = x²/64 + 12 ⇔ x² – 64x + 768 = 0

∆’ = (-32)² – 1.768 = 1024 – 768 = 256 > 0

√∆’ = √256 = 16

Cả hai giá trị của x đều thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy đàn khỉ có 48 con hoặc 16 con.