Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 45 trang 59 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

 Giải các phương trình:

a. (x+2)² -3x -5 =(1 –x)(1 +x)

b. (x -1)³ +2x=x³– x² – 2x +1

c. x(x² -6 ) – (x – 2)² = (x +1)³

d. (x +5)² + (x -2)² + (x +7)(x -7) = 12x -23

Lời giải:

a) Ta có: (x+2)2 -3x -5 = (1 –x)(1 +x)

⇔ x² + 4x +4 -3x -5 =1 – x²

⇔ 2x² +x -2 =0

Δ = 12 -4.2.(-2) =1 +16 =17 > 0

√Δ = √17

b) Ta có: (x -1)3 +2x=x³ – x² – 2x +1

⇔ x³ – 3x² +3x -1+2x =x³ – x² -2x +1

⇔ 2x² – 7x +2 =0

Δ = (-7)2 -4.2.2 = 49 – 16 = 33 > 0

√Δ = √33

c) Ta có: x(x² -6 ) – (x – 2)2 = (x +1)3

⇔ x³ – 6x – x² +4x -4 =x³ + 3x² +3x +1

⇔ 4x² +5x +5 =0

Δ = 52 -4.4.5 = 25 – 80 = -55 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm

d) Ta có: (x +5)2 + (x -2)2 + (x +7)(x -7) = 12x -23

⇔ x² +10x + 25 +x² -4x +4 +x² -49 = 12x -23

⇔ x² +10x+25 +x² -4x +4 +x² -49 -12x +23 =0

⇔ 3x² -6x + 3 =0

⇔ x² -2x +1 =0

Δ’ = (-1)2 -1.1 = 1-1 =0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm kép: x₁ = x₂ =1

 

Bài 46 trang 59 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

 Giải các phương trình:

Lời giải:

a. Điều kiện : x ≠ ± 1

Ta có:  ⇔ 12(x +1) – 8(x -1) = (x +1)(x -1)

⇔ 12x +12 -8x +8 = x² -1 ⇔ x² -4x -21 =0

Δ’ = (-2)² -1.(-21) = 4 + 21=25 > 0

√Δ’ =√25 =5

Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy nghiệm của phương trình là x =7 và x =-3

b. Điều kiện : x ≠3 và x ≠ 1

Ta có:  ⇔ 16(1 – x) +30(x -3) =3(x -3)(1 –x)

⇔ 16 – 16x +30x -90 =3x -3x² -9 +9x

⇔ 3x² +2x -65 =0

Δ’ = 1² -3.(-65) = 1 + 195=196 > 0

√Δ’ =√196 =14

Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy nghiệm của phương trình là x =133 và x =-3

c.Điều kiện : x≠3 và x ≠ -2

Ta có:  ⇔ x² -3x +5 = x+2 ⇔ x² -4x +3 =0

Phương trình x² -4x +3 = 0 có a = 1 ,b = -4 , c = 3

Suy ra : a + b + c = 0

Ta có nghiệm x₁ =1 , x₂ =3 (loại)

Vậy nghiệm của phương trình là x =1

d. Điều kiện : x≠2 và x ≠ -4

Ta có:  ⇔ 2x(x +4) –x(x -2) = 8x +8

⇔ 2x² +8x –x² +2x =8x +8

⇔ x² +2x -8 =0

Δ’ = 12 -1(-8) = 1 +8=9 > 0

√Δ’ =√9 =3

Cả hai giá trị của x đều không thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

e. Điều kiện : x≠1

Ta có:

⇔ x³+7x² +6x -30 = (x² –x +16)(x -1)

⇔ x³+7x² +6x -30 = x³ – x² – x² +x +16x -16

⇔ 9x² -11x -14 =0

Δ = (-11)² -4.9.(-14) =121 +504 =625 > 0

√Δ =√625 =25

Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy nghiệm của phương trình là x =-79 và x =2

f. Điều kiện : x≠ ± 1

ta có:

⇔ x² +9x -1 =17x -17 ⇔ x² -8x +16 =0

Δ’ = (-4)² – 1.16=16 -16 =0

Phương trình có nghiệm kép 😡₁ =x₂ =4

Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy nghiệm của phương trình là x =4

 

Bài 47 trang 59 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

 Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích

a.3x³ +6x² -4x =0     b.(x +1)3 –x +1 = (x -1)(x -2)

c.(x² +x +1)² = (4x -1 )²     d.(x² +3x + 2)² = 6.(x² +3x +2)

e.(2x² +3)² -10x³ -15x =0     f.x³ – 5x² –x +5 =0

Lời giải:

a) Ta có: 3x³ +6x² -4x =0 ⇔ x(3x² +6x -4) =0

⇔ x = 0 hoặc 3x² +6x -4 =0

Giải phương trình 3x² +6x -4 =0

Δ’ = 3² -3(-4) =9 +12 =21 > 0

√Δ’ =√21

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm

b) Ta có: (x +1)³ –x +1 = (x -1)(x -2)

⇔ x³ +3x²+3x +1 –x +1 = x² -2x –x +2

⇔ x³ +2x² +5x = 0 ⇔ x(x² +2x +5) =0

⇔ x =0 hoặc x² +2x +5 =0

Giải phương trình x² +2x +5 =0

Δ’ = 1² -1.5 =1 -5 = -4 < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm : x=0

c) Ta có: (x² +x +1)² = (4x -1 )²

⇔ [(x² +x +1) + (4x -1 )] [(x² +x +1) – (4x -1 )]=0

⇔ (x² +5x)(x² -3x +2) =0 ⇔ x(x+5) (x² -3x +2) =0

⇔ x =0 hoặc x+5 =0 hoặc x² -3x +2 =0

x+5 =0 ⇔ x=-5

x² -3x +2 =0

Δ = (-3)² -4.2.1 = 9 -8 =1 > 0

√Δ =√1 =1

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:

x₁ =0 ; x₂ =-5 ; x₃ =2 ; x₄ =1

d) (x² +3x + 2)² = 6.(x² +3x +2)

⇔ (x² +3x + 2)² – 6.(x² +3x +2)=0

⇔ (x² +3x + 2)[ (x² +3x + 2) -6] =0

⇔ (x² +3x + 2) .(x² +3x -4 )=0

x² +3x + 2 =0

Phương trình có dạng a –b +c =0 nên x₁ = -1 ,x₂ =-2

x² +3x -4 =0

Phương trình có dạng a +b +c =0 nên x₁ = 1 ,x₂=-4

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm :

x₁ = -1 ,x₂ =-2 ; x₃ = 1 ,x₄ =-4

e) Ta có: (2x² +3)² -10x³ -15x = 0 ⇔ (2x² +3)² – 5x(2x² +3)=0

⇔ (2x² +3)( 2x² +3 – 5x) = 0 ⇔ (2x² +3)( 2x² – 5x +3)=0

Vì 2x² ≥ 0 nên 2x² +3 > 0

Suy ra : 2x² – 5x +3=0

Δ = (-5)2 -4.2.3 =25 -24=1 > 0

√Δ =√1 =1

vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x₁ = 3/2 ; x₂ = 1

f) Ta có: x³ – 5x² –x +5 =0 ⇔ x²( x -5) – ( x -5) =0

⇔ (x -5)(x² -1) =0 ⇔ (x -5)(x -1)(x +1) =0

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm 😡₁ = 5;x₂ =1;x₃=-1

 

Bài 48 trang 60 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

 Giải các phương trình trùng phương

a. x⁴ -8x² – 9 =0     b. y⁴ – 1,16y² + 0,16 =0

c. z⁴ -7z² – 144 =0     d. 36t⁴ – 13t² +1 =0

     f.√3x⁴ – (2 -√3 )x² -2 =0

Lời giải:

a.Đặt m = x² .Điều kiện m ≥ 0

Ta có: x⁴ -8x² – 9 =0 ⇔m² -8m -9 =0

Phương trìnhm² – 8m – 9 = 0 có hệ số a = 1,b = -8,c = -9 nên có dạng a – b + c = 0

suy ra: m₁ = -1 (loại) , m₂ = -9/1 =9

Ta có: x² =9 ⇒ x=± 3

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : x₁ =3 ;x₂ =-3

b. Đặt m = y² .Điều kiện m ≥ 0

Ta có: y⁴ – 1,16y² + 0,16 =0 ⇔m² -1,16m + 0,16 =0

Phương trìnhm² -1,16m + 0,16 = 0 có hệ số a = 1, b = -1,16, c = 0,16 nên có dạng a + b + c = 0

suy ra: m₁ = 1 , m₂ = 0,16

Ta có: y² =1 ⇒ y = ± 1

y² =0,16 ⇒ y = ± 0,4

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm : y₁ =1 ;y₂ =-1 ; y₃ =0,4 ;y₄ =-0,4

c. Đặt m =z² .Điều kiện m ≥ 0

Ta có: z⁴ -7z² – 144 =0 ⇔m² -7m -144 =0

Ta có: Δ=(-7)² -4.1.(-144) =49 + 576=625 > 0

√Δ =√625 = 25

Ta có: z² =16 ⇒ z=± 4

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : z₁ =4 ;z₂ =-4

d. Đặt m = t² .Điều kiện m ≥ 0

Ta có: 36t⁴ – 13t² +1 =0 ⇔ 36m² -13m +1 =0

Ta có: Δ=(-13)² – 4.36.1=169 -144=25 > 0

√Δ =√25 = 5

Ta có: t² =1/4 ⇒ t=± 1/2

t² =1/9 ⇒ t=± 1/3

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm :

t₁ = 1/4 ; t₂ =-1/4 ; t₃ =1/3 ; t₄ =-1/3

e. Đặt m =x² .Điều kiện m ≥ 0

Ta có: 1/3.(x⁴) – 1/2.( x²) +16 =0⇔ 2x⁴ -3x² +1=0 ⇔ 2m² -3m + 1 =0

Phương trình 2m² -3m + 1 =0 có hệ số a=2,b=-3,c=1 nên có dạng a +b+c =0

suy ra: m₁ = 1 , m₂ = 12

Ta có: x² = 1 ⇒ x = ± 1

x² = 1/2 ⇒ x = ± √2/2

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm :

x₁ =1 ; x₂ =-1 ; x₃ =( √2)/2; x₄ = – √2/2

f. Đặt m =x² .Điều kiện m ≥ 0

Ta có: √3 x⁴ – (2 -√3 )x² -2 =0 ⇔ √3m² – (2 -√3 )m – 2 =0

Phương trình √3m² – (2 -√3 )m – 2 =0 có hệ số a=√3 ,b= -(2 -√3 ),c=-2 nên có dạng a – b+c =0

 

Bài 49 trang 60 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

 Chứng minh rằng khi a và c trái dấu thì phương trình trùng phương ax⁴+bx²+c =0 chỉ có hai nghiệm và chúng là hai số đối nhau

Lời giải:

Đặt m =x² .Điều kiện m ≥ 0

Ta có: ax⁴ + bx² + c = 0 ⇔ am² + bm + c = 0

Vì a và c trái dấu nên a/c < 0. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là m₁ và m₂

Theo hệ thức Vi-ét,ta có: m₁m₂ = c/a

Vì a và c trái dấu nên c/a <0 suy ra m₁m₂ < 0 hay m₁ và m₂ trái dấu nhau

Vì m₁ và m₂ trái dấu nhau nên có 1 nghiệm bị loại ,giả sử loại m₁

Khi đó x² =m₂ => x = ± √m₂

Vậy phương trình trùng phương ax⁴+bx²+c =0 chỉ có hai nghiệm và chúng là hai số đối nhau khi a và c trái dấu