Bài 6: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Bài 57 trang 165 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có chu vi 2p, bán kính đường tròn nội tiếp bằng r thì diện tích S của tam giác có công thức : S = p.r
Lời giải:
Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Nối OA, OB, OC
Khoảng cách từ tâm O đến các tiếp điểm là đường cao của các tam giác OAB, OAC, OBCv
Ta có : SABC = SOAB + SOAC + SOBC
= (1/2).AB.r + (1/2).AC.r + (1/2).BC.r
= (1/2)(AB + AC + BC).r
Mà AB + AC + BC = 2p
Nên SABC =(1/2).2p.r = p.r
Bài 58 trang 165 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại D và E.
a. Tứ giác ADOE là hình gì? Vì sao ?
b. Tính bán kính của đường tròn (O) biết AB = 3cm, AC = 4cm.
Lời giải:
a. Ta có:
Tứ giác ADOE có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật
Lại có : AD = AE (tính chất hai tiếp tuyến giao nhau)
Vậy tứ giác ADOE là hình vuông
b. Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông ABC ta có :
BC2 = AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25
Suy ra : BC = 5 (cm)
Theo tính chất hai tiếp tuyến giao nhau ta có:
AD = AE
BD = BF
CE = CF
Mà: AD = AB – BD
AE = AC – CF
Suy ra: AD + AE = AB – BD + (AC – CF)
= AB + AC – (BD + CF)
= AB + AC – (BF + CF)
= AB + AC – BC
Suy ra:
Bài 59 trang 165 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp. r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: AB + AC = 2(R + r)
Lời giải:
Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền BC.
Ta có: BC = 2R
Giả sử đường tròn (O) tiếp với AB tại D, AC tại E và BC tại F
Theo kết quả câu a) bài 58, ta có ADOE là hình vuông.
Suy ra: AD = AE = EO = OD = r
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
AD = AE
BD = BF
CE = CF
Ta có: 2R + 2r = BF + FC + AD + AE
= (BD + AD) + (AE + CE)
= AB + AC
Vậy AB = AC = 2(R + r)
Bài 60 trang 166 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Cho tam giác ABC, đường tròn (K) bàng tiếp trong góc A tiếp xúc với các tia AB và AC theo thứ tự tại E và F. Cho BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng:
Lời giải:
a. Gọi D là tiếp điểm của đường tròn (K) với cạnh BC.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
BE = BD; CD = CF
AE = AB + BE
AF = AC + CF
Suy ra: AE + AF = AB + BE + AC + CF
= AB + AC + (BD + DC)
= AB + AC + BC = c + b + a
Mà: AE = AF (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Bài 61 trang 166 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D.
a. Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB b. Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất c. Tìm vị trí của C, D để hình thang ABCD có chu vi bằng 14cm, biết AB = 4cmLời giải:
a. Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:
Ax ⊥ AB
By ⊥ AB
Suy ra: Ax // By hay AC // BD
Suy ra tứ giác ABDC là hình thang
Gọi I là trung điểm của CD
Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ABDC
Suy ra: OI // AC ⇒ OI ⊥ AB
Suy ra: IC = ID = IO = (1/2).CD (tính chất tam giác vuông)
Suy ra I là tâm đường tròn đường kính CD. Khi đó O nằm trên đường tròn tâm I đường kính CD và IO vuông góc với AB tại O.
Vậy đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB tại O.
b. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
CA = CM
DB = DM
Suy ra: AC + BD = CM + DM = CD
Chu vi hình thang ABDC bằng: AB + BD + DC + CA = AB + 2CD
Vì đường kính AB của (O) không thay đổi nên chu vi hình thang nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất
Ta có: CD ≥ AB nên CD nhỏ nhât khi và chỉ khi CD = AB
Khi đó CD // AB ⇔ OM ⊥ AB
Vậy khi M là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AB tại O với nửa đường tròn (O) thì hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất.
c. Chu vi hình thang ABDC bằng: AB + 2CD (chứng minh trên)
Suy ra: 14 = 4 + 2.CD ⇒ CD = 5 (cm)
Hay CM + DM = 5 ⇒ DM = 5 – CM (1)
Tam giác COD vuông tại O có OM ⊥ CD
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
OM2 = CM.DM ⇔ 22 = CM.DM ⇔ 4 = CM.DM (2)
Thay (1) vào (2) ta có: CM.(5 – CM) = 4
⇔ 5CM – CM2 – 4 = 0 ⇔ 4CM – CM2 + CM – 4 = 0
⇔ CM(4 – CM) + (CM – 4) = 0 ⇔ CM(4 – CM) – (4 – CM) = 0
⇔ (CM – 1)(4 – CM) = 0 ⇔ CM – 1 = 0 hoặc 4 – CM = 0
⇔ CM = 1 hoặc CM = 4
Vì CM = CA (chứng minh trên) nên AC = 1 (cm) hoặc AC = 4 (cm)
Vậy điểm C cách điểm A 1cm hoặc 4cm thì hình thang ABDC có chu vi bằng 14.
Bài 62 trang 166 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Gọi N là giao điểm của AD và BC, H là giao điểm của MN và AB. Chứng minh rằng:
a. MN ⊥ AB b. MN = NH
Lời giải:
Ax ⊥ AB
By ⊥ AB
Suy ra: Ax // By hay AC // BD
Trong tam giác BND, ta có AC // BD
Suy ra: ND/NA = BD/AC (hệ quả định lí Ta-lét) (1)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
AC = CM và BD = DM (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ND/NA = MD/MC
Trong tam giác ACD, ta có: ND/NA = MD/MC
Suy ra: MN // AC (theo định lí đảo định lí Ta-lét)
Mà: AC ⊥ AB (vì Ax ⊥ AB)
Suy ra: MN ⊥ AB
b. Trong tam giác ACD, ta có: MN // AC
Suy ra: MN/AC = DN/DA (hệ quả định lí Ta-lét) (3)
Trong tam giác ABC, ta có: MH // AC (vì M, N, H thẳng hàng)
Suy ra: HN/AC = BN/BC (hệ quả định lí Ta-lét) (4)
Trong tam giác BDN, ta có: AC // BD
Suy ra: ND/NA = BN/NC (hệ quả định lí Ta-lét)
⇒ ND/(DN + NA) = BN/(BN + NC) ⇔ ND/DA = BN/BC (5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra: MN/AC = HN/AC ⇒ MN = HN
Bài 63 trang 166 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh rằng SABC = BD.DC
Lời giải:
Gọi E và F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn với AD và AC
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
AE = AF
BE = BD
CD = CF
BD = BC + CD
BE = AB – AE
Suy ra: BD + BE = AB + BC – (AE + CD)
= AB + BC – (AE + CE)
= AB + BC – AC
Suy ra: BD = (AB + BC – AC)/2
Lại có: CD = BC – BD
CF = AC = AF
Suy ra: CD + CF = BC + AC – (BD + AF)
= BC + AC – (BE + AE)
= BC + AC – BA
Vậy SABC = BD.DC.