Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Bài 35 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

 Giải phương trình rồi kiểm nghiệm hệ vi-ét:

a. 5x² + 2x -16 =0     b.3x² -2x -5 =0

Lời giải:

Phương trình 5x² + 2x -16 =0 có hệ số a=5 ,b=2 c=-16

Ta có: Δ’=1² -5(-16) = 1 + 80 =81 >0

Δ’ = 81 =9

Phương trình 3x² -2x -5 =0 có hệ số a =3,b = -2, c = -5

Ta có: Δ’=(-1)² -3(-5) = 1 + 15 =16 >0

Δ’ = 16 =4

Phương trình  ⇔ x² +6x – 16 = 0 có hệ số a = 1, b = 6, c = -16

Δ’=3² -1(-16) = 9 +16 =25 > 0

Δ’ = 25 =5

Phương trình  ⇔ x² -6x +4 =0 có hệ số a=1,b=-6,c=4

Ta có: Δ’=(-3)² -1.4 = 9 -4 =5 >0

Δ’ = 5

 

Bài 36 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: 

Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình

a.2x² – 7x +2 =0     b.5x² +2x -16 =0

c. (2 – √3 )x²+4x +2 +√2 =0     d.1,4x² -3x +1,2 =0

e.5x² +x +2 =0

Lời giải:

a) Ta có:Δ =(-7)² -4.2.2 =49 -16 =33 >0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt .Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

x₁ + x₂ =-b/a =7/2 ;x₁x₂ =c/a =2/2 =1

b) c = -16 suy ra ac < 0

Phương trình có 2 ghiệm phân biệt .Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

x₁ + x₂ =-b/a =-2/5 ;x₁x₂ =c/a =-16/5

c) Ta có: Δ’ = 2² – (2 -√3 )(2 + √2 ) =4 -4 – 2√2 +2√3 +√6

= 2√3 – 2√2 +√6 >0

Phương trình 2 ghiệm phân biệt .Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

d) Ta có : Δ = (-3)² -4.1,4.1,2 =9 – 6,72 =2,28 >0

Phương trình có 2 ghiệm phân biệt .Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

x₁ + x₂ = -b/a = 3/(1.4) = 30/14 = 15/7 ; x₁x₂ = c/a = (1.2)/(1.4) = 12/14 = 6/7

Ta có: Δ = 1² -4.5.2 = 1 – 40 = -39 < 0

 

Bài 37 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

 Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a. 7x² -9x +2=0 b.23x² -9x -32=0

c.1975x² + 4x -1979 =0 d.(5 +√2 )x² + (5 – √2 )x -10 =0

     f. 31,1x² – 50,9x +19,8 =0

Lời giải:

a) Phương trình 7x² -9x +2 = 0 có hệ số a = 7, b = -9, c = 2

Ta có: a + b + c = 7 + (-9) + 2 = 0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁ = 1, x₂ = c/a = 2/7

b) Phương trình 23x² – 9x – 32 = 0 có hệ số a = 23, b = -9, c = -32

Ta có: a –b +c =23 – (-9) +(-32) =0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁= -1, x₂ = -c/a = -(-32)/23 = 32/23

c. Phương trình 1975x² + 4x -1979 = 0 có hệ số a = 1975, b = 4, c = -1979

Ta có: a +b +c =1975 + 4 + (-1979) = 0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁ = 1, x₂ = c/a = -1979/1975

d) Phương trình (5 +√2 )x² + (5 – √2 )x -10 = 0 có hệ số

a =5 +√2 , b = 5 – √2 , c = -10

Ta có: a +b +c =5 +√2 +5 – √2 +(-10)=0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁ = 1 , x₂ = ca = (-10)/(5+ √2)

e. Phương trình  ⇔ 2x√ – 9x + 11 = 0 có hệ số a = 2, b = 9, c = -11

Ta có: a –b +c =2 – (-9) +(-11) =0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁=-1 , x₂ = -c/a = -(-11)/2 =11/2

f. Phương trình 31,1x² – 50,9x + 19,8 = 0 ⇔ 311x² – 509x +198 = 0 có hệ số a = 311, b = -509, c = 198

Ta có: a + b + c = 311 + (-509) + 198 = 0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁ = 1 , x₂ = c/a = 198/311

 

Bài 38 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

 Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a. x²-6x +8=0     b.x² -12x + 32 =0

c. x² +6x +8 =0     d.x² -3x -10 =0

e. x² +3x -10 =0

Lời giải:

a. Ta có: Δ’ = (-3)2 -1.8=9 -8 =1 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

Giải ra ta được x₁ =2, x₂ =4

b. Ta có: Δ’ = (-6)² -1.32 = 36 – 32 = 4 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

Giải ra ta được x₁ =4,x₂ =8

c. Ta có: Δ’ = 3² -1.8=9 -8 =1 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

Giải ra ta được x₁ =-2, x₂ =-4

d. Ta có: Δ = (-3)² -4.1.(-10)=9 +40 =49 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

Giải ra ta được x₁ =-2, x₂ =5

e. Ta có: Δ = 3² -4.1.(-10)=9 +40 =49 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

 

Bài 39 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

a. Chứng tỏ rằng phương trình 3x² +2x -21 =0 có một nghiệm là -3.Hãy tìm nghiệm kia

b. Chứng tỏ rằng phương trình -4x² -3x +115=0 có một nghiệm là 5.Hãy tìm nghiệm kia

Lời giải:

a. Thay x =-3 vào vế trái của phương trình , ta có:

3.(-3)²+2(-3) -21 =27 – 6 -21 =0

Vậy =-3 là nghiệm của phương trình 3x² +2x -21 =0

Theo hệ thức vi-ét ta có : x₁x₂ = c/a = -21/3 = -7 ⇒ x₂ = -7/x₁ = -7/-3 = 7/3

Vậy nghiệm còn lại là x = 7/3

b. Thay x =5 vào vế trái của phương trình ,ta có:

-4.5² -3.5 +115 =-100 -15 +115 =0

Vậy x=5 là nghiệm của phương trình -4x² -3x +115=0

Theo hệ thức Vi-ét ta có : x₁x₂ = c/a = 115/-4 ⇒ 5x₂ = -115/4 ⇒ x₂ = -23/4

Vậy nghiệm còn lại là x = -23/4

 

Bài 40 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

 Dùng hệ thức vi-ét để tìm nghiệm x₂ của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp sau:

a. Phương trình x² +mx -35 =0 có nghiệm x₁ =7

b. Phương trình x² -13x+m=0 có nghiệm x₁ =12,5

c. Phương trình 4x² +3x – m² +3m =0 có nghiệm x₁ =-2

d. Phương trình 3x² -2(m -3)x +5 =0 có nghiệm x₁ =13

Lời giải:

a. Theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁x₂ =-35

Suy ra 7x₂ =-35 ⇔ x₂ =-5

Cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁ + x₂ =-m

Suy ra: m=-7 +5 ⇔ m =-2

Vậy với m =-2 thì phương trình x² + mx – 35 = 0 có hai nghiệm x₁ =7, x₂ =-5

b. Theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁ + x₂ =13

Suy ra 12,5 + x₂ = 13 ⇔ x₂ = 0,5

Cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁x₂ = m

Suy ra: m = 12,5.0,5 ⇔ m =6,25

Vậy với m = 6,25 thì phương trình x² -13x + m = 0 có hai nghiệm

x₁ =12,5 ,x₂ =0,5

c) Theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁ + x₂ = – 3/4

Suy ra: -2 + x₂ = – 3/4 ⇔ x₂ = -3/4 + 2 = 5/4

Cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁x₂ = (-m²+3m)/4

Suy ra: -2. 5/4 = (-m²+3m)/4 ⇔ m² -3m -10 =0

Δ= (-3)² -4.1.(-10) =9+40 =49

√Δ =√49 =7

m¹ =(3 +7)/(2.1) =5 ; m² =(3 -7)/(2.1) =-2

Vậy với m =5 hoặc m = -2 thì phương trình 4x² +3x – m² +3m = 0 có hai nghiệm x₁ =-2 , x₂ =5/4

d) Theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁x₂ =5/3

Suy ra: 1/3 .x₂ = 5/3 ⇔ x₂ =5/3 : 1/3 =5/3 .3=5

cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁ + x₂ =[2(m -3)]/3

Suy ra: 1/3 +5 = [2(m -3)]/3 ⇔ 2(m -3) =16 ⇔ m-3=8 ⇔ m=11

Vậy với m =11 thì phương trình 3x² -2(m -3)x +5 =0 có hai nghiệm x₁ = 13 , x₂ = 5

 

Bài 41 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: 

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a. u +v =14, uv =40     b. u +v =-7, uv =12

c. u +v =-5, uv =-24     d. u +v =4, uv =19

e. u – v =10, uv =24     f. u² + v² =85,uv =18

Lời giải:

a) Hai số u và v với u +v =14 và uv =40 nên nó là nghiệm của phương trình x² -14x + 40=0

Δ’= (-7)² – 1.40=49 -40 =9 > 0

√Δ’ = √9 =3

Vậy u=10, v=4 hoặc u = 4, v = 10

b. Hai số u và v với u +v =-7 và uv =12 nên nó là nghiệm của phương trình x² +7x + 12=0

Δ= (7)² – 4.1.12=49 -48=1 > 0

√Δ =√1 =1

Vậy u=-3,v=-4 hoặc u=-4,v=-3

c. Hai số u và v với u +v =-5 và uv =-24 nên nó là nghiệm của phương trình x² +5x -24 =0

Δ= (5)² – 4.1.(-24)= 25 +96=121 > 0

√Δ = √121 =11

Vậy u = 3, v = -8 hoặc u = -8, v = 3

d. Hai số u và v với u +v =4 và uv =19 nên nó là nghiệm của phương trình x² – 4x +19 = 0

Δ’= (-2)² – 1.19= 4 – 19=-15 < 0

Phương trình vô nghiệm nên không có giá trị nào của u và v thỏa mãn điều kiện bài toán

e. Hai số u và v với u – v =10 suy ra : u + (- v) = 10 và uv = 24 suy ra u(-v) = -24 nên nó là nghiệm của phương trình x2 -10x -24 =0

Δ’= (-5)² – 1.(-24)= 25 +24=49 > 0

√Δ’ = √49 =7

Vậy u = 12 , -v = -2 hoặc u = -2, -v = 12 suy ra u = 12 , v = 2 hoặc u = -2 , v = -12

f. Hai số u và v với u² + v² =85 và uv =18 suy ra : u²v²=324 nên u² và v² là nghiệm của phương trình x² -85x +324 =0

Δ= √(-85)² – 4.1.324= 7225 – 1296=5929 > 0

√Δ = √2959 =77

Ta có: u² =81 ,v² =4 suy ra: u =±9 ,v=± 2

hoặc u² =4 ,v² =81 suy ra: u =±2 ,v=± 9

Vậy nếu u=9 thì v=2 hoặc u=-9 ,v=-2

nếu u=2 thì v=9 hoặc u= -2 ,v=-9