Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Bài 42 trang 163 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Dùng thước và compa, hãy dựng các điểm B và C thuộc đường tròn (O) sao cho AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O).
Lời giải:
* Phân tích
Giả sử tiếp tuyến AB và AC cần dựng thỏa mãn điều kiện bài toán
Ta có: AB ⊥ OB => 
= 90o
AC ⊥ OC => 
= 90o
Tam giác ABO có = 90o nội tiếp trong đường tròn đường kính AO và tam giác ACO có = 90o nội tiếp trong đường tròn đường kính AO.
Suy ra B và C là giao điểm của đường tròn đường kính AO với đường tròn (O).
* Cách dựng
– Dựng I là trung điểm của OA
– Dựng đường tròn (I; IO) cắt đường tròn (O) tại B và C
– Nối AB, AC ta được hai tiếp tuyến cần dựng
* Chứng minh
Tam giác ABO nội tiếp trong đường tròn (I) có OA là đường kính nên: = 90o
Suy ra: AB ⊥ OB tại B nên AB là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Tam giác ACO nội tiếp trong đường tròn (I) có OA là đường kính nên: = 90o
Suy ra: AC ⊥ OC tại C nên AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
* Biện luận
Luôn dựng được đường tròn tâm I, cắt đường tròn tâm O tại hai điểm B và C và luôn có AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 43 trang 163 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Cho điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Dựng đường tròn (O) đi qua A và B nhận đường thẳng d làm tiếp tuyến.
Lời giải:
* Phân tích
– Giả sử dựng được đường tròn (O) qua A, B và tiếp xúc với d. Khi đó đường tròn (O) phải tiếp xúc với d tại A
– Đường tròn (O) đi qua A và B nên tâm O nằm trên đường trung trực của AB
– Đường tròn (O) tiếp xúc với d tại A nên điểm O nằm trên đường thẳng vuông góc với d tại điểm A
* Cách dựng
– Dựng đường thẳng trung trực của AB
– Dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với d. Đường thẳng này cắt đường trung trực của AB tại O
– Dựng đường tròn (O; OA) ta được đường tròn cần dựng
* Chứng minh
Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên OA = OB. Khi đó đường tròn (O; OA) đi qua hai điểm A và B
Ta có: OA vuông góc với d tại A nên d là tiếp tuyến của (O)
Vậy (O) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Bài 44 trang 163 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (B; BA) và đường tròn (C; CA), chúng cắt nhau tại điểm D (khác A). Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (B).
Lời giải:
Xét hai tam giác ABC và DBC, ta có:
BA = BD (bán kính của (B; BA))
CA = CD (bán kính của (C; CA))
BC chung
Suy ra: ∆ABC = ∆DBC (c.c.c)
Suy ra: CD ⊥ BD tại D
Vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA)
Bài 45 trang 163 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn (O) có đường kính AH. Chứng minh rằng:
a. Điểm E nằm trên đường tròn (O).
b. DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Lời giải:
a. Gọi O là trung điểm của AH
Tam giác AEH vuông tại E có EO là đường trung tuyến nên :
EO = OA = OH = AH/2 (tính chất tam giác vuông)
Vậy điểm E nằm trên đường tròn (O ; AH/2 )
b. Ta có : OH = OE
Suy ra tam giác OHE cân tại O
Trong tam giác BDH ta có:
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
Tam giác ABC cân tại A có AD ⊥ BC nên BD = CD
Tam giác BCE vuông tại E có ED là đường trung tuyến nên:
ED = DB = BC/2 (tính chất tam giác vuông)
Suy ra tam giác BDE cân tại D
Suy ra: DE ⊥ EO. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 46 trang 163 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Cho góc nhọn xOy, điểm A thuộc tia Ox. Dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A và có tâm I nằm trên Oy.
Lời giải:
* Phân tích
Giả sử đường tròn tâm I dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.
– Đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A nên I nằm trên đường thẳng vuông góc với Ox kẻ từ A
– Tâm I nằm trên tia Oy nên I là giao điểm của Oy và đường thẳng vuông góc với Ox tại A
* Cách dựng
– Dựng đường vuông góc với Ox tại A cắt Oy tại I
– Dựng đường tròn (I; IA)
* Chứng minh
Ta có: I thuộc Oy; OA ⊥ IA tại A
Suy ra Ox là tiếp tuyến của đường tròn (I; IA) hay (I; IA) tiếp xúc với Ox.
* Biện luận
Vì góc (xOy) là góc nhọn nên đường thẳng vuông góc với Ox tại A luôn cắt tia Oy nên tâm I luôn xác định và duy nhất.
Bài 47 trang 163 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không giao nhau. Dựng tiếp tuyến của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến đó song song với d
Lời giải:
* Phân tích
Giả sử tiếp tuyến của đường tròn dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán
– d1 là tiếp tuyến của đường tròn tại A nên d1 ⊥ OA
– Vì d1 // d nên d ⊥ OA
Vậy A là giao điểm của đường thẳng kẻ từ O vuông góc với d
* Cách dựng
– Dựng OH vuông góc với d cắt đường tròn (O) tại A và B
– Dựng đường thẳng d1 đi qua A và vuông góc với OA
– Dựng đường thẳng d2 đi qua B và vuông góc với OB
Khi đó d1 và d2 là hai tiếp tuyến cần dựng.
* Chứng minh
Ta có: A và B thuộc (O)
d1 // d mà d ⊥ OH nên d1 ⊥ OH hay d1 ⊥ OA tại A
Suy ra d1 là tiếp tuyến của đường tròn (O)
d2 // d mà d ⊥ OH nên d2 ⊥ OH hay d2 ⊥ OB tại B
Suy ra d2 là tiếp tuyến của đường tròn (O)
* Biện luận
Đường thẳng OH luôn cắt đường tròn (O) nên giao điểm A và B luôn dựng được.
