Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

Bài 27 trang 55 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: 

Xác định a, b’,c trong mỗi phương trình rồi giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn:

a. 5x² – 6x -1 = 0     b. -3x² + 14x – 8 = 0

c. -7x² + 4x = 3     d. 9x² + 6x + 1 = 0

Lời giải:

a. Phương trình 5x² – 6x -1 = 0 có hệ số a = 5, b’ = -3, c = -1

Ta có: Δ’ = b’² – ac = (-3)² -5.(-1) = 9 + 5 = 14 > 0

√Δ’ =√14

Phương trình có hai nghiệm phân biệt :

b. Phương trình -3x²+ 14x – 8 = 0 có hệ số a = -3, b’= 7, c = -8

Ta có: Δ’ = b’² – ac = 7² – (-3).(-8) = 49 – 24 > 0

√Δ’ = √25 = 5

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

c. Phương trình -7x² +4x=3 ⇔ 7x² -4x+3 = 0 có hệ số a=7, b’=-2 , c=3

Ta có: Δ’ = b’² – ac = (-2)² -7.3 = 4- 21= -17 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm

d. Phương trình 9x² +6x+1 =0 có hệ số a=9,b’=3,c=1

Ta có: Δ’ = b’² – ac = 3² -9.1 = 9 – 9 = 0

Phương trình có nghiệm kép:

x₁ = x₂ = -b’/a =-3/9 =-1/3

 

Bài 28 trang 55 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

 Với những giá trị nào của x thì giá trị của hai biểu thức sau bằng nhau?

a. x² +2 + 2√2 = 2(1+√2 )x

b. √3 x² + 2x -1 = 2√3 x +3

c. -2√2 x – 1 =√2 x² + 2x +3

d. x² – 2√3 x – √3 = 2x² +2x +√3

e. √3 x² + 2√5 x – 3√3 = -x² – 2√3 x +2√5 +1

Lời giải:

a,Ta có: x² +2 + 2√2 = 2(1+2 )x ⇔ x² – 2(1+√2 )x +2 +2√2 = 0

Δ’ = b’2 – ac = [-(1+√2 )]²– 1(2+2√2 )

= 1 + 2√2 +2 -2 -2√2 =1 > 0

√Δ’ = √1 =1

Vậy với x= 2+ √2 hoặc x =√2 thì giá trị của hai biểu thức trên bằng nhau

b. Ta có: √3 x² + 2x -1 = 2√3 x +3 ⇔ 3 x² + 2x – 2√3 x -3 -1 = 0

⇔ √3 x² + (2 – 2√3 )x -4 =0 ⇔ √3 x² + 2(1 – √3 )x -4 = 0

Δ’ = b’² – ac= (1- √3 )² – √3 (-4) =1 – 2√3 +3 +4√3

= 1 + 2√3 +3 = (1 + 3 )² > 0

Vậy với x= 2 hoặc x = (-2√3)/3 thì giá trị của hai biểu thức trên bằng nhau

c,Ta có: -2√2 x – 1 =√2 x² + 2x +3 ⇔ √2 x² +2x + 3 + 2√2 x + 1=0

⇔√ 2 x² + 2(1 + √2 )x +4 =0

Δ’ = b’² – ac= (1+ √2 )√ – √2 .4= 1+2√2 +2 – 4√2

= 1-2√2 +2 = (√2 -1)√ > 0

Vậy với x= -√2 hoặc x = -2 thì giá trị của hai biểu thức trên bằng nhau

d.Ta có: x² – 2√3 x – √3 = 2x² +2x +√3

⇔ x² – 2√3 x – √3 – 2x² -2x – √3 =0

⇔ x² +2x +2√3 x +2√3 =0

⇔ x² + 2(1 +√3 )x + 2√3 =0

Δ’ = b’² – ac= (1+ √3 )√ – 1. 2√3 = 1 + 2√3 +√3 -2√3 =4>0

√Δ’ = √4 =2

Vậy với x=1 – √3 hoặc x = – 3 – √3 thì giá trị của hai biểu thức trên bằng nhau

e.Ta có: √3 x² + 2√5 x – 3√3 = -x² – 2√3 x +2√5 +1

⇔ √3 x² + 2√5 x – 3√3 + x² + 2√3 x – 2√5 – 1= 0

⇔ (√3 +1)x² + (2√5 + 2√3 )x -3√3 – 2√5 – 1= 0

⇔ (√3 +1)x² + 2(√5 + √3 )x -3√3 – 2√5 – 1= 0

Δ’ = b’√ – ac= (√3 + √5 )√ – (√3 +√1)( -3√3 – 2√5 – 1)

= 5 + 2√15 +3+9 +2√15 + √3 +3√3 +2√5 + 1

=18 +4√15 +4√3 +2√5

= 1 + 12 + 5 + 2.2√3 + 25 + 2.2√3 .√5

= 1 + (2√3 )√ + (√5 )√ + 2.1.2√3 +2.1.√5 + 2.2√3 .√5

= (1 +2√3 +√5 )√ > 0

 

Bài 29 trang 55 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: 

Một vận động viên bơi lội nhảy cầu (xem hình dưới). Khi nhảy độ cao h từ người đó đến mặt nước (tính bằng mét ) phụ thuộc vào khoảng cách x từ điểm rơi đến chân cầu (tính bằng mét) bởi công thức : h= – (x -1)² +4 . Hỏi cách x bằng bao nhiêu:

a. Khi vận động viên ở độ cao 3m?

b. Khi vận động viên chạm mặt nước?

Lời giải:

Khi vận động viên ở độ cao 3m nghĩa là h =3m

Ta có: 3 =- (x – 1)² + 4 ⇔ (x – 1)² – 1=0 ⇔ x² – 2x = 0

⇔ x(x – 2) = 0 ⇔ x=0 hoặc x – 2 =0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2

Vậy x = 0m hoặc x = 2m

Khi vận động viên chạm mặt nước nghĩa là h = 0m

Ta có: 0 = – (x – 1)² + 4 ⇔ x² -2x -3 =0

Δ’ = b’² – ac = (-1)² -1.(-3) =1 +3 = 4 > 0

Vì khoảng cách không thể mang giá trị âm nên x=3m