Giải toán bằng cách lập hệ phương trình

A. Phương pháp giải

Trình tự các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

• Bước 1: Lập hệ phương trình.

+ Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn.

+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng và thành lập hệ hai ẩn từ các phương trình vừa tìm.

• Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.

• Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm được thỏa mãn điều kiện của bài toán và nêu kết luận của bài toán.

B. Bài tập tự luận

Bài 1:

 Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34m. Nếu tăng chiều dài thêm 3m và tăng chiều rộng thêm 2m thì diện tích tăng thêm 45m². Hãy tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài ta có:

Chu vi hình chữ nhật là: 2(x + y) = 34. (1)

Hình chữ nhật mới có chiều dài (y + 3)m, chiều rộng (x +2)m nên có diện tích là (x + 2)(y + 3). Do hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm 45m² nên ta có phương trình:

(x+2)(y+3)= xy + 45 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Bài 2:

 Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 72 và tổng của số mới và số đã cho là 110.

Hướng dẫn giải

Bài 3:

 Hai thị xã A và B cách nhau 90km. Một chiếc ôtô khởi hành từ A và một xe máy khởi hành từ B cùng một lúc ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau ôtô chạy thêm 30 phút nữa thì đến B, còn xe máy chạy thêm 2 giờ nữa mới đến A. Tìm vận tốc của mỗi xe.

Hướng dẫn giải

Giả sử hai xe gặp nhau tại C. Do ôtô đi hết quãng đường BC trong 30 phút (= 0,5h) và xe máy đi hết quãng đường CA trong 2 giờ nên ta có:

Quãng đường AC dài 2y (km), quãng đường BC dài 0,5x (km).

Thời gian ôtô đi hết quãng đường AC là 2y/x (km/h).

Thời gian xe máy đi trên quãng đường BC là 0,5x/y (km/h).

Do tổng quãng đường AB dài 90km và thời gian hai xe từ lúc xuất phát tới C bằng nhau nên ta có hệ phương trình

Từ (2) suy ra x = 2y (do x > 0, y > 0), thay vào (1) ta có phương trình

3y = 90 ⇔ y = 30 => x = 60 (thỏa mãn x, y > 0).

Vận tốc của ôtô là 60km/h và vận tốc của xe máy là 30km/h.

Bài 4:

 Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h thì đến B sớm hơn dự định 2 giờ. Nếu giảm vận tốc đi 4km/h thì đến B muộn hơn 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của người đó.

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc dự định là x(km/h) (x > 0)

Thời gian dự định là y (km/h) (y > 0)

Khi đó quãng đường là xy (km/h)

Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h thì đến B sớm hơn dự định 2giờ nên ta có phương trình (x+14)(y-2)=xy (1)

Nếu vận tốc giảm đi 4km/h thì đến B muộn hơn 1 giờ nên ta có phương trình (x-4)(y+1)=xy (2)