Các dạng phương trình lượng giác đơn giản

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Dạng: at+b=0

Với a,b là hai số thực, a≠0. t là một trong các hàm số sinX, cosX, tanX, cotX.

Phương pháp giải

at+b=0⇔t=−ba ⇒ phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải.

Ví dụ. Giải phương trình: 2sin(x−π4)+3–√=0

Giải

2sin(x−π4)+3–√=0⇔sin(x−π4)=−3√2

⇔sin(x−π4)=sin(−π3)

⇔[x−π4=−π3+k2πx−π4=π+π3+k2π(k∈Z)

⇔[x=−π12+k2πx=19π12+k2π

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng: at2+bt+c=0

Với a,b,c là các số thực, a≠0. t là một trong các hàm số sinX, cosX, tanX, cotX.

Phương pháp giải

Đặt t là hàm số lượng giác trong phương trình để đưa về phương trình bậc hai theo t.

Ví dụ. Giải phương trình: 3cos2x−cosx−2=0

Giải

Đặt t=cosx, ta được phương trình:

3t2−t−2=0⇔[t=1t=−23

Với t=1⇒cosx=1⇔x=k2π(k∈Z)

Với t=−23⇒cosx=−23⇒x=±arccos(−23)+k2π(k∈Z)

Vậy phương trình có các nghiệm là: x=k2π, x=±arccos(−23)+k2π với (k∈Z).

Lưu ý: Khi đặt t=cosX hoặc t=sinX ta có thể đặt điều kiện |t|≤1.

Phương trình bậc nhất theo sinX và cosX

Dạng: asinX+bcosX=c

Với a,b,c là các số thực, a2+b2≠0.

Phương pháp giải

– Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: a2+b2≥c2

– Chia hai vế phương trình cho a2+b2−−−−−−√

aa2+b2√sinX+ba2+b2√cosX=ca2+b2√

Đặt aa2+b2√=cosα,ba2+b2√=sinα, phương trình trở thành:

cosα.sinX+sinα.cosX=ca2+b2√⇔sin(X+α)=ca2+b2√

Ví dụ. Giải phương trình: 3–√sin2x+cos2x=2–√

Giải

3–√sin2x+cos2x=2–√

⇔3√2sin2x+12cos2x=2√2

⇔cosπ6sin2x+sinπ6cos2x=2√2

⇔sin(2x+π6)=sinπ4

⇔[2x+π6=π4+k2π2x+π6=π−π4+k2π(k∈Z)

⇔[x=π24+kπx=7π24+kπ

Phương trình thuần nhất bậc hai theo sinX và cosX

Dạng: asin2X+bsinXcosX+ccos2X=0

Với a,b,c là các số thực không đồng thời bằng 0.

Phương pháp giải

Phương pháp 1. Chia hai vế phương trình cho cos2X để đưa về phương trình bậc hai theo tanX (với trường hợp cosX≠0).

Phương pháp 2. Dùng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi để đưa về phương trình Asin2X+Bcos2X=C.

Ví dụ. giải phương trình: 3–√sin2x−(1+3–√)sinxcosx+cos2x=0

Giải

Cách 1

– Với cosx=0⇔x=π2+kπ(k∈Z)

Thế vào phương trình ta được: 3–√=0 (sai) ⇒x=π2+kπ không phải nghiệm của phương trình.

– Với cosx≠0:

3–√sin2x−(1+3–√)sinxcosx+cos2x=0

⇔3–√tan2x−(1+3–√)tanx+1=0

⇔[tanx=1tanx=13√⇔[x=π4+kπx=π6+kπ(k∈Z)

Cách 2

3–√sin2x−(1+3–√)sinxcosx+cos2x=0

⇔3–√1−cos2x2−(1+3–√)12sin2x+1+cos2x2=0

⇔(1+3–√)sin2x−(1−3–√)cos2x=1+3–√

⇔sin2x+(2−3–√)cos2x=1

(Bạn đọc tự giải tiếp)