Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(I,R) và mặt phẳng (P). Ký hiệu d là khoảng cách từ I đến (P). Ta có:
Trường hợp 1: Nếu d>R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung.
Trường hợp 2: Nếu d=R thì mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Ta gọi đây là điều kiện tiếp xúc.
Trường hợp 3: Nếu d<R thì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính là r=R2−d2−−−−−−√.
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α):2x−y+2z−7=0 và mặt cầu (S):(x−1)2+y2+(z+2)2=9. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (α) và tiếp xúc với (S).
Giải
Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;−2), bán kính R=3.
Vì (P)//(α) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 2x−y+2z+m=0,m≠−7.
Vì (P) tiếp xúc với mặt phẳng (α) nên áp dụng điều kiện tiếp xúc ta có:
d(I,(P))=R⇔|2−4+m|3=3⇔[m=11m=−7(loại)
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: 2x−y+2z+11=0
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α):x−2y+z+1=0 và điểm I(2;−1;1). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt mặt phẳng (α) theo giao tuyến là đường tròn có diện tích bằng 4π.
Giải
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến. Ta có: πr2=4π⇒r=2.
Gọi d là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (α). Dễ dàng tính được d=6–√.
Gọi R là bán kính mặt cầu (S). Ta có: R=r2+d2−−−−−−√=10−−√.
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: (x−2)2+(y+1)2+(z−1)2=10.
Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(I,R) và đường thẳng Δ. Ký hiệu d là khoảng cách từ I đến Δ. Ta có:
Trường hợp 1: Nếu d>R thì đường thẳng Δ và mặt cầu (S) không có điểm chung.
Trường hợp 2: Nếu d=R thì đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu (S). Ta gọi đây là điều kiện tiếp xúc.
Trường hợp 3: Nếu d<R thì đường thẳng Δ và mặt cầu (S) cắt nhau tại hai điểm M, N với MN=2R2−d2−−−−−−√.
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d:x−14=y+1−3=z−11. Viết phương trình mặt cầu (S),biết (S) có tâm I(1;2;−3) và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho AB=26−−√.
A. (S):(x+1)2+(y+2)2+(z−3)2=5.
B. (S):(x−1)2+(y−2)2+(z+3)2=5.
C. (S):(x+1)2+(y+2)2+(z−3)2=25.
D. (S):(x−1)2+(y−2)2+(z+3)2=25.
Giải
Gọi d là khoảng cách từ I đến Δ, dễ dàng tính được d=74√2.
Gọi R là bán kính mặt cầu (S) thì R=d2+(AB2)2−−−−−−−−−√=5
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: (S):(x−1)2+(y−2)2+(z+3)2=25.
Ta chọn đáp án D.