Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Xét bài toán:

Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P):A1x+B1y+C1z+D1=0và (Q):A2x+B2y+C2z+D2=0. Xét vị trí tương đối giữa (P) và (Q).

Để giải bài toán này, ta gọi n⃗ 1=(A1;B1;C1) là vectơ pháp tuyến của (P), n⃗ 2=(A2;B2;C2) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q). Ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: nếu n⃗ 1 và n⃗ 2 cùng phương thì (P) và (Q) song song hoặc trùng nhau.

Trường hợp 2: Nếu n⃗ 1 và n⃗ 2  không cùng phương thì (P) và (Q) cắt nhau.

Lưu ý: 

– Trong trường hợp A2;B2;C2 đều khác 0, ta có thể xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng bằng cách xét tỉ lệ:

+ Nếu A1A2=B1B2=C1C2=D1D2 thì (P) và (Q) trùng nhau.

+ Nếu A1A2=B1B2=C1C2≠D1D2 thì (P) và (Q) song song.

+ Nếu A1A2≠B1B2 hoặc B1B2≠C1C2 thì (P) và (Q) cắt nhau.

– (P)⊥(Q)⇔n⃗ 1⊥n⃗ 2⇔n⃗ 1.n⃗ 2=0

Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng (P):2x−3y−14z−2=0 và (Q):−x+32y+7z+1=0.

Giải

Ta có: 2−1=−33/2=−147≠−2−1⇒ (P) và (Q) song song.

Ví dụ 2: Xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng (P):−3x+2z=0 và (Q):9x+3y−6z+1=0.

Giải

VTPT của (P) là n⃗ 1=(−3;0;2)

VTPT của (Q) là n⃗ 2=(9;3;−6)

Ta thấy n⃗ 1 và n⃗ 2 không cùng phương nên hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau.

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Xét bài toán:

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:⎧⎩⎨⎪⎪x=x0+aty=y0+btz=z0+ct(t∈R) và mặt phẳng (P):Ax+By+Cz+D=0. Xét vị trí tương đối giữa d và (P).

Để giải bài toán này, ta xét hệ phương trình:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪x=x0+aty=y0+btz=z0+ctAx+By+Cz+D=0(∗)

Trường hợp 1: Hệ (*) có 1 nghiệm duy nhất ⇒ d và (P) cắt nhau, nghiệm (x, y, z) của hệ (*) là tọa độ của giao điểm.

Trường hợp 2: Hệ (*) vô nghiệm ⇒ d và (P) song song.

Trường hợp 3: Hệ (*) vô số nghiệm ⇒ d nằm trong mặt phẳng (P).

Lưu ý: Với u⃗ d là vectơ chỉ phương của đường thẳng d và n⃗ p là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Ta có:

+ d//(P) hoặc d⊂(P) khi và chỉ khi u⃗ d⊥n⃗ p⇔u⃗ d.n⃗ p=0.

+ d⊥(P) khi và chỉ khi u⃗ d và n⃗ p cùng phương.

Ví dụ 3: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d:⎧⎩⎨⎪⎪x=3+ty=−2−3tz=−2t và mặt phẳng (P):x−3y+z−1=0. Tìm tọa độ giao điểm nếu có.

Giải

Xét hệ phương trình: ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪x=3+ty=−2−3tz=−2tx−3y+z−1=0 (*)

⇒3+t−3(−2−3t)−2t−1=0⇔t=−1

Vậy hệ (*) có nghiệm duy nhất nên d và (P) cắt nhau.

Với t=−1⇒⎧⎩⎨⎪⎪x=2y=1z=2 nên tọa độ giao điểm của d và (P) là (2;1;2).

Ví dụ 4: Tim m, n để đường thẳng d:x−12=ym=z+24−n và  mặt phẳng (P):−2x+y−2z−2=0 vuông góc.

Giải

VTCP của d là: u⃗ d=(2;m;4−n).

VTPT của (P) là: n⃗ p=(−2;1;−2)

Để d⊥(P) khi và chỉ khi u⃗ d và n⃗ p cùng phương.

⇔2−2=m1=4−n−2⇔{m=−1n=2

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Xét bài toán:

Cho hai đường thẳng Δ:⎧⎩⎨⎪⎪x=x0+aty=y0+btz=z0+ct có VTCP là u→=(a;b;c) và Δ′:⎧⎩⎨⎪⎪x=x′0+a′t′y=y′0+b′t′z=z′0+c′t′ có VTCP là u′→=(a′;b′;c′). Xét vị trí giữa Δ và Δ′

Trường hợp 1: u→ và u′→ cùng phương: Lấy điểm M(x0;y0;z0)∈Δ, kiểm tra:

+ Nếu M∈Δ′ thì Δ và Δ′ trùng nhau.

+ Nếu M∉Δ′ thì Δ và Δ′ song song.

Trường hợp 2: u→ và u′→ không cùng phương: Xét hệ phương trình:

⎧⎩⎨⎪⎪x0+at=x′0+a′t′y0+bt=y′0+b′t′z0+ct=z′0+c′t′(I)

+ Nếu hệ (I) vô nghiệm thì Δ và Δ′ chéo nhau.

+ Nếu hệ (I) có nghiệm duy nhất thì Δ và Δ′ cắt nhau.

Ví dụ 5. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d1:⎧⎩⎨⎪⎪x=3+ty=tz=t và d2:x−22=y−11=z2.

Giải

VTCP của d1 u⃗ 1=(1;1;1).

VTCP của d2 u⃗ 2=(2;1;2).

u⃗ 1 và u⃗ 2 không cùng phương nên d1 và d2 cắt hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình: ⎧⎩⎨⎪⎪2+2t′=3+t1+t′=t2t′=t (I)

Hệ (I) vô nghiệm nên d1 và d2 chéo nhau.