Công thức tích vô hướng lớp 10 và lớp 12

September 6, 2018

Bài viết sau đây sẽ giới thiệu cho các em về những công thức quan trọng về tích vô hướng của hai vectơ:

Tìm hiểu thêm về tích vô hướng tại đây:

Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ đều khác vectơ ${\vec 0}$ .

Từ một điểm O bất kì, ta vẽ các vectơ $\overrightarrow {OA}={\vec a}$ và $\overrightarrow {OB}={\vec b}$ (hình 2-6). Khi đó:

	Số đo của góc AOB được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ , hoặc đơn giản là góc giữa hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ .

CHÚ Ý:

Góc giữa hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ được kí hiệu là $({\vec a},{\vec b})$ .
Từ định nghĩa ta có $({\vec a},{\vec b})=({\vec b},{\vec a})$
Nếu $({\vec a},{\vec b})=90^{\circ }$ thì ta nói rằng hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ vuông góc với nhau, kí hiệu là ${\vec a}\perp {\vec b}$ .
Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ là vectơ-không thì ta xem góc giữa hai vectơ đó là tùy ý (từ 0° đến 180°).
Số đo của góc AOB là không đổi, dù ta có chọn điểm O ở các vị trí khác nhau. Do đó, khi xác định góc giữa hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ ta thường chọn điểm Otrùng với điểm gốc của vectơ ${\vec a}$ hoặc vectơ ${\vec b}$ . Và theo định nghĩa ta có:

(\overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB})=\angle {AOB}

Tích vô hướng của hai vectơ[sửa]

Trong Vật lí, ta có khái niệm “công sinh bởi một lực“.

Giả sử một lực không đổi $\overrightarrow {F}$ tác dụng lên một vật làm cho nó di chuyển từ điểm O đến O’ (hình vẽ).

Khi đó lực $\overrightarrow {F}$ đã sinh ra một công A tính theo công thức:

$A=|\overrightarrow {F}|.|\overrightarrow {OO'}|.\cos \varphi$ trong đó:

$|\overrightarrow {F}|$ là cường độ của lực $\overrightarrow {F}$ tính bằng Niutơn (kí hiệu là N);
$|\overrightarrow {OO'}|$ là độ dài vectơ $\overrightarrow {OO'}$ tính bằng mét (kí hiệu là m);
$\varphi$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {F}$ và $\overrightarrow {OO'}$ .
$A\,$ là công do lực $\overrightarrow {F}$ sinh ra, được tính bằng Jun (kí hiệu là J).

Trong Toán học, giá trị của biểu thức $A\,$ (không kể đơn vị đo) được gọi là tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow {F}$ và $\overrightarrow {OO'}$ . Tổng quát, ta có định nghĩa sau về tích vô hướng của hai vectơ bất kì ${\vec a}$ và ${\vec b}$ .

Tích vô hướng của hai vectơ

{\vec a}

và

{\vec b}

là một số, kí hiệu là

{\vec a}.{\vec b}

, được xác định bởi công thức:

{\vec a}.{\vec b}=|{\vec a}|.|{\vec b}|.\cos({\vec a},{\vec b})

(1)

Bình phương vô hướng

Khi ${\vec a}={\vec b}$ thì công thức (1) trở thành:

${\vec a}.{\vec a}=|{\vec a}|.|{\vec a}|.\cos 0^{\circ }=|{\vec a}|^{2}$
Người ta kí hiệu tích vô hướng ${\vec a}.{\vec a}$ là $({\vec a})^{2}$ hay đơn giản hơn là ${\vec a}^{2}$ và gọi là bình phương vô hướng của vectơ ${\vec a}$ .

Như vậy, ta có:

${\vec a}^{2}=|{\vec a}|.|{\vec a}|.\cos 0^{\circ }=|{\vec a}|^{2}$

Tính chất của tích vô hướng

Với hai số thực a và b, ta có ab = ba; a(b + c) = ab + ac. Vậy với hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ , ta có các tính chất tương tự hay không?

Với ba vectơ ${\vec a},{\vec b},{\vec c}$ tùy ý và mọi số thực k, ta có:

${\vec a}.{\vec b}={\vec b}.{\vec a}$ (Tính chất giao hoán)
$(k{\vec a}).{\vec b}={\vec a}.(k{\vec b})=k({\vec a}.{\vec b})$
${\vec a}.({\vec b}+{\vec c})={\vec a}.{\vec b}+{\vec a}.{\vec c}$ (Tính chất phân phối đối với phép cộng)

Ta dễ dàng chứng minh được các tính chất 1, 2. Tính chất 3 được thừa nhận không chứng minh.

Dùng các tính chất của tích vô hướng, ta chứng minh được các hệ thức sau:

$({\vec a}+{\vec b})^{2}={\vec a}^{2}+2.{\vec a}.{\vec b}+{\vec b}^{2}$	(1)
$({\vec a}-{\vec b})^{2}={\vec a}^{2}-2.{\vec a}.{\vec b}+{\vec b}^{2}$	(2)
$({\vec a}+{\vec b}).({\vec a}-{\vec b})={\vec a}^{2}-{\vec b}^{2}=\|{\vec a}\|^{2}-\|{\vec b}\|^{2}$	(3)

Chẳng hạn, hệ thức (3) được chứng minh như sau. Theo tính chất phân phối, ta có:

$({\vec a}+{\vec b}).({\vec a}-{\vec b})$	$={\vec a}.({\vec a}-{\vec b})+{\vec b}.({\vec a}-{\vec b})$
$={\vec a}^{2}-{\vec a}.{\vec b}+{\vec b}.{\vec a}-{\vec b}^{2}$
$={\vec a}^{2}-{\vec b}^{2}=\|{\vec a}\|^{2}-\|{\vec b}\|^{2}$

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng toạ độ $(O;{\vec i},{\vec j})$ , cho hai vectơ ${\vec a}=(a_{1};a_{2}),{\vec b}=(b_{1};b_{2})$ .

Khi đó, ta có công thức:

{\vec a}.{\vec b}=a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}

Thật vậy:

Vì ${\vec a}=(a_{1};a_{2}),\ {\vec b}=(b_{1};b_{2})$ nên ${\vec a}=a_{1}{\vec i}+a_{2}{\vec j},\ {\vec b}=b_{1}{\vec i}+b_{2}{\vec j}$ .
Từ (1), suy ra:

${\vec a}.{\vec b}=(a_{1}{\vec i}+a_{2}{\vec j}).(b_{1}{\vec i}+b_{2}{\vec j})$ .

$=a_{1}b_{1}.{\vec i}^{2}+a_{2}b_{2}.{\vec j}^{2}+a_{1}b_{2}.{\vec i}.{\vec j}+a_{2}b_{1}.{\vec j}.{\vec i}$
Vì

${\begin{cases}|{\vec i}|=|{\vec j}|=1\\{\vec i}\perp {\vec j}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}{\vec i}^{2}=|{\vec i}|^{2}=1,\ {\vec j}^{2}=|{\vec j}|^{2}=1\\{\vec i}.{\vec j}={\vec j}.{\vec i}=0\end{cases}}$
Từ (2) và (3) suy ra: ${\vec a}.{\vec b}=a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}$ (đpcm).

NHẬN XÉT

Hai vectơ ${\vec a}=(a_{1};a_{2})$ và ${\vec b}=(b_{1};b_{2})$ khác vectơ ${\vec 0}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}=0$

{\vec a}\perp {\vec b}\Leftrightarrow a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}=0

Độ dài của vectơ

Độ dài của vectơ ${\vec a}=(a_{1};a_{2})$ được tính theo công thức:

|{\vec a}|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}

Thật vậy, ta có: $|{\vec a}|^{2}={\vec a}^{2}={\vec a}.{\vec a}=a_{1}.a_{1}+a_{2}.a_{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}$

Do đó $|{\vec a}|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}$ (đpcm).

Góc giữa hai vectơ

Với hai vectơ ${\vec a}=(a_{1};a_{2})$ và ${\vec b}=(b_{1};b_{2})$ khác vectơ ${\vec 0}$ , từ định nghĩa của tích vô hướng và hệ thức độ dài trên, ta suy ra góc giữa hai vectơ được xác định bởi hệ thức sau:

\cos({\vec a},{\vec b})={\frac {{\vec a}.{\vec b}}{|{\vec a}|.|{\vec b}|}}={\frac {a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}.{\sqrt {b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}}}

Khoảng cách giữa hai điểm $A(x_{A};y_{A})$ và $B(x_{B};y_{B})$ được tính theo công thức sau:

AB={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}

Thật vậy

Vì $A=(x_{A};y_{A})$ và $B=(x_{B};y_{B})$ nên $\overrightarrow {AB}=(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})$
Từ (1) suy ra $|\overrightarrow {AB}|={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}$
Mặt khác $AB=|\overrightarrow {AB}|$ , kết hợp với (2) ta có $AB={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}$ (đpcm)