CHUYÊN ĐỀ 5: ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT

 

1. Kiến thức cơ bản

1.1. Đại số tổ hợp

1.1.1. Quy tắc cộng:

                Có n1 cách chọn đối tượng A1.

                     n2 cách chọn đối tượng A2.

                     A1  A2 = 

 Có n1 + n2 cách chọn một trong các đối tượng A1, A2.

1.1.2. Quy tắc nhân:

Có n1 cách chọn đối tượng A1. Ứng với mỗi cách chọn A1, có n2 cách chọn đối tượng A2.

 Có n1.n2 cách chọn dãy đối tượng  A1, A2.

1.1.3. Hoán vị:

 Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán vị của n phần tử.

 Số hoán vị: Pn = n!.

1.1.4. Chỉnh hợp:

 Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k  n) và sắp thứ tự của chúng gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.

 Số các chỉnh hợp: 

1.1.5. Tổ hợp:

 Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0  k  n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

 Số các tổ hợp: 

 Hai tính chất: , 

1.1.6. Nhị thức Newton

 

 Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1): 

 Đặc biệt: 

1.2. Xác suất

1.2.1. Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển: 

+  0P(A)1+ , 

1.2.2. Tính xác suất theo các quy tắc:

a) Quy tắc cộng xác suất

Nếu A và B là hai biến cố xung khắc, thì:

c) Quy tắc nhân xác suất

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì:

2. Các dạng toán

2.1. Bài toán đếm:

Ví dụ 1. Cho tập , từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3.

Lời giải

Gọi số cần tìm là 

Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 không xét đến vị trí a.

Xếp 0 và 3 vào 5 vị trí có:  cách

3 vị trí còn lại có cách

Suy ra có  số

Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 với a = 0.

Xếp 3 có 4 cách

3 vị trí còn lại có  cách

Suy ra có  số

Vậy số các số cần tìm tmycbt là: = 384

Ví dụ 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ.

Lời giải

Từ giả thiết bài toán ta thấy có  cách chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số có chữ số 0 đứng đầu) và =10 cách chọn 2 chữ số lẽ => có . = 100 bộ 5 số được chọn.

Mỗi bộ 5 số như thế có 5!  số được thành lập => có tất cả ..5! = 12000 số.

Mặt khác số các số được lập như trên mà có chữ số 0 đứng đầu là .

Vậy có tất cả 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán.

Ví dụ 3. Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh.

Lời giải

Tổng số cách chọn 6 học sinh trong 12 học sinh là 

Số học sinh được chọn phải thuộc ít nhất 2 khối

Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 11 là:

Số cách chọn chỉ có học sinh khối 11 và khối 10 là:

Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 10 là:

Số cách chọn thoả mãn đề bài là: (cách)

Ví dụ 4. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm phân biệt khác A, B, C, D. Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + 6 điểm đã cho là 439.

Lời giải

Nếu n  2 thì n + 6  8. Do đó số tam giác có ba đỉnh được lấy từ n + 6 điểm đó không vượt qua  (loại). Vậy n  3

Vì mỗi tam giác được tạo thành ứng với 1 tổ hợp 3 chập n + 6 phần tử. Nhưng trên cạnh CD có 3 đỉnh, trên cạnh DA có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là:

 (n + 4)(n + 5)(n + 6) – (n – 2)(n – 1)n = 2540

 n2 + 4n – 140 = 0

Từ đó tìm được n = 10.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau mà mỗi số đều lớn hơn 2010.

2) Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n.                     

3) Cho tập , từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3.hoctoancapba.com

2.2. Nhị thức Newton:

Ví dụ 1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức ,  biết rằng 

Lời giải

Giải phương trình ; Điều kiện:  n ≥ 2 ; n  N.

Phương trình tương đương với    

 n2 – 11n – 12 = 0     n =  – 1  (Loại)   v    n = 12.

Với n = 12  ta có nhị thức Niutơn: .

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là: Tk +1 =   ; k  N, 0 ≤ k ≤ 12

Hay Tk+ 1 =  = .

Số hạng này không chứa x khi  .

Vậy số hạng thứ 9 không chứa x là  T9 = 

Ví dụ 2. Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: .

Lời giải

Điều kiện n  4

Ta có 

Hệ số của số hạng chứa x8 là 

Hệ số của số hạng chứa x8 là 

Ta có: 

 (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49

 n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0  (n – 7)(n2 + 7) = 0  n = 7

Nên hệ số của x8 là  

Ví dụ 3 (ĐH). Cho khai triển đa thức:   Tính tổng:

Lời giải

Ta có: 

(*).

Nhận thấy:  do đó  thay vào cả hai vế của (*) ta có: 

 

Ví dụ 4 (ĐH). Cho khai triển: . Hãy tìm giá trị của .

Lời giải

Ta có   nên

 

Trong khai triển  hệ số của  là:  ; Trong khai triển  hệ số của  là: 

Trong khai triển  hệ số của  là: 

Vậy hệ số 

Ví dụ 5 (ĐH). Tính giá trị biểu thức: .

Lời giải

Ta có:              (1)

            (2)

Lấy (1)+(2) ta được: 

Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được:

Thay x=1 vào =>

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển   với x > 0.

2) Tính tổng: 

3) Tính tổng  .

2.3. Xác suất:

Ví dụ 1. Một hộp chứa  quả cầu màu đỏ,  quả cầu màu xanh và  quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra  quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho  quả cầu được lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng.

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu là .

Gọi  là biến cố “ 4 quả lấy được có đúng  một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả màu vàng”. Ta xét ba khả năng sau:

    – Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là: 

    – Số cách lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là: 

    – Số cách lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là: hoctoancapba.com

Khi đó .

Xác suất của biến cố  là .

Ví dụ 2. Chọn ngẫu nhiên 5 con bài trong bộ tú lơ khơ. Tính xác suất sao cho trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài thuộc 1 bộ (ví dụ 3 con K).

Lời giải

Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ là: 

Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ mà trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài thuộc 1 bộ là: 13.

Xác suất để chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ mà trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài thuộc 1 bộ là: = .

Ví dụ 3. Cho E là tập các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số:0,1,2,3,4,5,6,7. Lấy ngẫu nhiên một số trong E. Tính xác suất để lấy được số chia hết cho 5.

Lời giải

Giả sử 

 

Chọn 

Số chia hết cho 5. Gọi A là biến cố chọn dc số chia hết cho 5 thì n(A)=1560

Ví dụ 4. Cho tập . Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, mỗi số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập E. Tính xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5.

Lời giải

Số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập E là: 

Trong đó số các số không có mặt chữ số 5 là 4.3.2=24, và số các số có mặt chữ số 5 là .

Gọi A là biến cố “hai số được viết lên bảng đều có mặt chữ số 5”, B là biến cố “hai số viết lên bảng đều không có mặt chữ số 5”. Rõ ràng A,B xung khắc. Do đó áp dụng qui tắc cộng xác suất ta có:

.

Suy ra xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5 là .

Ví dụ 5. Trong một kì thi. Thí sinh được phép thi 3 lần. Xác suất lần đầu vượt qua kì thi là 0,9. Nếu trượt lần đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,7. Nếu trượt cả hai lần thì xác suất vượt qua kì thi ở lần thứ ba là 0,3. Tính xác suất để thí sinh thi đậu.

Lời giải

Gọi Ai là biến cố thí sinh thi đậu lần thứ i (i = 1;2;3). Gọi B là biến cố để thí sinh thi đậu.

Ta có: 

Suy ra: 

Trong đó: 

Vậy:

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1) Từ các chữ số của tập , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên có ba chữ số khác nhau lên hai tấm thẻ. Tính xác suất để hai số ghi trên hai tấm thẻ đó có ít nhất

một số chia hết cho 5.

2) Có 10 học sinh lớp A; 9 học sinh lớp B và 8 học sinh lớp C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ các học sinh trên. Tính xác suất sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp A. 

3) Một hộp đựng 11 viên bi được đánh số từ 1 đến 11. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi rồi cộng các số trên viên bi lại với nhau. Tính xác suất để kết quả thu được là một số lẻ.

4) Một chiếc hộp đứng 6 cái bút màu xanh, 6 cái bút màu đen, 5 cái bút màu tím và 3 cái bút màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên ra 4 cái bút. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu.