CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP XÁC SUẤT LỚP 11
- “Chuyên đề tổ hợp xác suất lớp 11” gồm có 2 phần lớn: Phần A – Lý thuyết cơ bản; Phần B – Các dạng bài tập của tổ hợp xác suất.
- Phần A của Chuyên đề tổ hợp xác suất lớp 11 gồm có 7 phần kiến thức.
- Phần B của Chuyên đề tổ hợp xác suất lớp 11 gồm có 7 phần bài tập chính (trong đó là các dạng bài tập khác nhau thuộc từng phần)
PHỤ HUYNH VÀ HỌC SINH CÓ THỂ TÌM HIỂU THÊM
Tổ hợp xác suất – Những điều cần biết
Công thức tổ hợp xác suất lớp 11
A. Lý thuyết cơ bản (chuyên đề tổ hợp xác suất lớp 11):
I. Qui tắc đếm:
1. Qui tắc cộng:
Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo 1 trong 2 phương án A hoặc B. Nếu phương án A có a cách thực hiện, phương án B có b cách thực hiện (không trùng với bất kỳ cách nào trong phương án A) thì công việc đó có a+b cách thực hiện.
2. Qui tắc nhân:
Một công việc nào đó bao gồm 2 công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có a cách thực hiện, ứng với a cách thực hiện đó có b cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có a.b cách thực hiện.
II. Hoán vị:
1. Giai thừa:
n! = 1.2.3….n = (n-1)! . n
= (p+1)(p+2)…..n ( Với n > p)
*Qui ước: 0! = 1
2. Hoán vị (không lặp)
Một tập hợp gồm n phần tử (n≥1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là 1 hoán vị của n phần tử.
Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n!
3. Hoán vị lặp:
Cho k phần tử khác nhau a1, a2,…,ak. Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n1 phần tử a1, n2 phần tử a2,…., nk phần tử ak (n1+n2+…+nk = n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị lặp cấp n và kiểu (n1,n2,…,nk) của k phần tử.
Số hoán vị lặp cấp n và kiểu (n1,n2,…,nk) của k phần tử là:
4. Hoán vị vòng quanh:
Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử thuộc tập A thành 1 dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử.
Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là Qn = (n-1)!
III. Chỉnh hợp:
1.Chỉnh hợp (không lặp):
– Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1≤k≤n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.
– Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
-Công thức trên cũng đúng trong trường hợp k = 0 hoặc k = n
– Khi k = n thì Ann = Pn = n!
2. Chỉnh hợp lặp:
– Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo 1 thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập A.
– Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử :
IV. Tổ hợp:
1. Tổ hợp không lặp:
- Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1≤k≤n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
- Số các tổ hợp chập k của n phần tử:
- Qui ước:
- Tính chất:
2. Tổ hợp lặp:
Cho tập A = {a1,a2,…,an} và số tự nhiên k bất kỳ. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một tổ hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.
Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử:
V. Phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp:
Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức:
- Chỉnh hợp có thứ tự.
- Tổ hợp không có thứ tự.
⇒ Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào các vị trí của các phần tử thì ta sẽ dùng chỉnh hợp. Ngược lại là tổ hợp.
Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử:
- Không có thứ tự, không hoàn lại:
- Có thứ tự, không hoàn lại:
- Có thứ tự, có hoàn lại:
VI. Nhị thức Newton:
1. Công thức khai triển nhị thức Newton:
- ∀n∈N và với mọi cặp số a, b; ta có:
2. Tính chất:
- Số các số hạng của khai triển bằng n+1
- Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
- Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng:
- Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau:
*Nhận xét: Trong khai triển nhị thức Newton, nếu ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt . Chẳng hạn:
⇒
⇒
VII. Xác suất (chuyên đề tổ hợp xác suất):
1. Biến cố và xác suất:
a. Biến cố:
- Không gian mẫu Ω là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử .
- Biến cố A là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A (A⊂Ω)
- Biến cố không: ∅
- Biến cố chắc chắn: Ω
- Biến cố đối của A: = Ω \ A
- Hợp 2 biến cố: A ∪ B
- Giao 2 biến cố: A ∩ B (hoặc A.B)
- Hai biến cố xung khắc: A ∩ B = ∅
- Hai biến cố được gọi là 2 biến cố độc lập nếu việc xảy ra biến cố này không làm ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia.
b. Xác suất:
- Xác suất của biến cố:
- 0 ≤ P(A) ≤ 1
- P(Ω) = 1 ; P(∅)= 0
- Qui tắc cộng:
+) Nếu A ∩ B = ∅ thì P(A∪B) = P(A) + P(B)
+) Nếu A, B bất kì thì P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A.B)
- Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B)= P(A).P(B)
2. Biến ngẫu nhiên rời rạc:
a. Biến ngẫu nhiên rời rạc:
b. Kì vọng (giá trị trung bình):
μ = E(X) =
c. Phương sai và độ lệch chuẩn:
B. Bài tập được phân theo từng dạng của chuyên đề tổ hợp xác suất lớp 11 (chuyên đề tổ hợp xác suất lớp 11):
I. Tổ hợp:
1. Qui tắc đếm:
2. Rút gọn biểu thức:
3. Dạng chứng minh:
4. Dạng giải phương trình – Hệ phương trình – Bất phương trình:
5. Nhị thức Newton:
6. Xác suất:
7. Biến ngẫu nhiên rời rạc: