CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
Câu 1.
Chứng minh √7 là số vô tỉ.
Câu 2.
a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
Câu 3.
Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x2 + y2.
Câu 4.
a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy: 
b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
Câu 5.
Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = a3 + b3.
Câu 6.
Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: N = a + b.
Câu 7.
Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
Câu 8.
Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: |a + b| > |a – b|
Câu 9.
a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a
b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8
Câu 10.
Chứng minh các bất đẳng thức:
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
Câu 11.
Tìm các giá trị của x sao cho:
a) |2x – 3| = |1 – x|
b) x2 – 4x ≤ 5
c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.
Câu 12.
Tìm các số a, b, c, d biết rằng: a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)
Câu 13.
Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 14.
Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.
Câu 15.
Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau:
x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0
Câu 16.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Câu 17.
So sánh các số thực sau (không dùng máy tính):
Câu 18.
Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn √2 nhưng nhỏ hơn √3
Câu 19.
Giải phương trình: 
.
Câu 20.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4.
Câu 21.
Cho 
.
Hãy so sánh S và 
.
Câu 22.
Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì √a là số vô tỉ.
Câu 23.
Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng:
Câu 24.
Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ:
Câu 25.
Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không?
Câu 26.
Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng:
Câu 27.
Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng:
Câu 28.
Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.
Câu 29.
Chứng minh các bất đẳng thức:
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
c) (a1 + a2 + ….. + an)2 ≤ n(a12 + a22 + ….. + an2).
Câu 30.
Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2.
Câu 31.
Chứng minh rằng: [x] + [y] ≤ [x + y].
Câu 32.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Câu 33.
Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
với x, y, z > 0.
Câu 34.
Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x2 + y2 biết x + y = 4.
Câu 35.
Tìm giá trị lớn nhất của: A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0; x + y + z = 1.
Câu 36.
Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu:
a) ab và a/b là số vô tỉ.
b) a + b và a/b là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)
c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)
Câu 37.
Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
Câu 38.
Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh:
Câu 39.
Chứng minh rằng [2x] bằng 2[x] hoặc 2[x] + 1
Câu 40.
Cho số nguyên dương a. Xét các số có dạng: a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n. Chứng minh rằng trong các số đó, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96.
Câu 41.
Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
Câu 42.
a) Chứng minh rằng: | A + B | ≤ | A | + | B |. Dấu “ = ” xảy ra khi nào?
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 
.
c) Giải phương trình: 
Câu 43.
Giải phương trình: 
.
Câu 44.
Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
