Bài 1. Sự xác định của đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

Bài 1 trang 99 sgk Toán 9 – tập 1

Cho hình chữ nhật ABCD có AB=12cm, BC=5cm. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Hướng dẫn giải:

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật, ta có OA = OB = OC = OD = R.

Bốn điểm A, B, C, D, cách đều điểm O nên bốn điểm này cùng thuộc một đường tròn.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có:

$A{\mathrm{C^}}^2=A{\mathrm{B^}}^2+B{\mathrm{C^}}^2={\mathrm{12^}}^2+{\mathrm{5^}}^2=169\Rightarrow AC=13.$

Bán kính của đường tròn là $R=\frac{\mathrm{13/}}{2}=6,5.$

Nhận xét: Để chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn, ta chứng minh các điểm này cùng cách đều một điểm.

 

Bài 2. Hãy nối mỗi ô ở cột trái với mỗi ô ở cột phải để được khẳng định đúng.

(1) Nếu tam giác có ba góc nhọn	(4) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên ngoài tam giác.
(2) Nếu tam giác có góc vuông	(5) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên trong tam giác.
(3) Nếu tam giác có góc tù	(6) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là trung điểm của cạnh lớn nhất.
	(7) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là trung điểm của cạnh nhỏ nhất

Hướng dẫn giải:

Nối (1) với (5),

(2) với (6),

(3) với (4).

Bài 3. Chứng minh các định lý sau:

a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

Hướng dẫn giải:

a) Xét tam giác ABC vuông tại A.

Gọi O là trung điểm của cạnh huyền BC, ta có:

OA = OB = OC = R

Vậy O chính là tâm cuả đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b) Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC.

Ta có OA = OB = OC = R

suy ra $OA=B\mathrm{C/2}$, do đó tam giác ABC vuông tại A

Nhận xét: Định lý trong bài tập này thường được dùng để giải nhiều bài tập về nhận biết tam giác vuông.

Bài 4. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, hãy xác định vị trí của mỗi điểm $A(-1;-1),B(-1;-2),C(\sqrt{2};\sqrt{2})$đối với đường tròn tâm $O$ bán kính $2$.

Giải

Khoảng cách d từ gốc tọa độ đến điểm $(x;y)$ được tính theo công thức $d=\sqrt{x^2+y^2}$

 Ta có $OA=\sqrt{{(-1)^}^2+{(-1)^}^2}=\sqrt{2}<2$ nằm trong đường tròn $(O;2)$.

$OB=\sqrt{{(-1)^}^2+{(-2)^}^2}=\sqrt{5}>2$ nằm ngoài đường tròn $(O;\mathrm{2)}$.

$OC=\sqrt{{(\sqrt{2})^}^2+{(\sqrt{2})^}^2}=2$ nằm trên đường tròn $(O;2)$

Bài 5. Đố. Một tấm bìa hình tròn không còn dấu vết của tâm. Hãy tìm lại tâm của hình tròn đó.

Hướng dẫn giải:

– Trên đường tròn lấy ba điểm A, B, C.

– Vẽ hai dây AB, AC.

– Dựng các đường trung trực của AB, AC chúng cắt nhau tại O, đó là tâm của đường tròn.

Cách khác: 

– Gấp tấm bìa sao cho hai phần của hình tròn trùng nhau, nếp gấp là một đường kính.

– Lại gấp như trên theo nếp gấp khác, ta được một đường kính thứ hai. Giao điểm của hai đường kính này là tâm của đường tròn.

Bài 6. Trong các biển báo giao thông sau, biển nào có tâm đối xứng, biển nào có trục đối xứng?

a) Biển cấm đi ngược chiều (h.58) :

b) Biển cấm ôtô (h.59) :

Hướng dẫn giải: 

a) Hình 58 vừa có tâm đối xứng vừa có trục đối xứng

b) Hình 59 có một trục đối xứng.

Bài 7. Hãy nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải để được khẳng định đúng:

(1) Tập hợp các điểm có khoảng cách đến điểm A cố định bằng 2cm	(4) là đường tròn tâm A bán kính 2cm
(2) Đường tròn tâm A bán kính 2cm gồm tất cả những điểm	(5) có khoảng cách đến điểm A nhỏ hơn hoặc bằng 2
(3) Hình tròn tâm A bán kính 2cm gồm tất cả những điểm	(6) có khoảng cách đến điểm A bằng 2cm
	(7) có khoảng cách đến điểm A lớn hơn 2cm

Hướng dẫn giải:

Nối (1) với (4);

(2) với (6);

(3) với (5).

Bài 8. Cho góc nhọn xAy và hai điểm B, C thuộc Ax. Dựng đường tròn (O) đi qua B và C sao cho tâm O nằm trên tia Ay.

Hướng dẫn giải:

Phân tích 

Giải sử đã dựng được đường tròn (O) thỏa mãn đề bài. Tâm O phải thỏa mãn hai điều kiện:

– O nằm trên đường trung trực m của BC.

– O nằm trên tia Ay.

Cách dựng:

– Dựng đường trung trực m của BC, cắt Ay tại O.

– Dựng đường tròn (O;OB), đó là đường tròn phải dựng.

Chứng minh

Vì điểm $O\in m$ nên OB=OC, suy ra đường tròn (O; OB) đi qua B và C.

Mặt khác, $O\in Ay$ nên đường tròn (O) thỏa mãn đề bài.

Biện luận

Vì m luôn cắt tia Ay tại một điểm O duy nhất nên bài toán luôn có một nghiệm hình.

Bài 9. 

Đố

a) Vẽ hình hoa bốn cánh. Hình hoa bốn cánh trên hình 60 được tạo ra bởi các cung có tâm A, B, C, D ( trong đó A, B, C, D là các đỉnh của một hình vuông và tâm của cung là tâm của đường tròn chứa cung đó). Hãy vẽ lại hình 60 vào vở.

b) Vẽ lọ hoa: Chiếc lọ hoa trên hình 61 được vẽ trên giấy kẻ ô vuông bởi năm cung có tâm A, B, C, D, E. Hãy vẽ lại hình 61 vào giấy kẻ ô vuông.

Hướng dẫn giải:

a) Vẽ hình vuông ABCD. Vẽ bốn cung tròn vào trong hình vuông, mỗi cung có tâm là một đỉnh của hình vuông và có bán kính bằng cạnh hình vuông.

b) Vẽ 5 cung tròn có tâm lần lượt là A, B, C, D, E, bán kính bằng đường chéo của mỗi ô vuông tức là bán kính là $\sqrt{2}$