1. Khái niệm bất phương trình một ẩn

Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề chứa biến có một trong các dạng f(x) > g(x), f(x) < g(x), f(x) ≥ g(x), f(x) ≤ g(x), trong đó f(x), g(x) là các biểu thức chứa cùng một biến x.

Tập xác định của bất phương trình (TXĐ) là điều kiện của biến số x để các biểu thức f(x), g(x) có nghĩa.

Giá trị x0 thỏa mãn TXĐ làm cho f(x0)<g(x0) là một mệnh đề đúng thì x0 là một nghiệm của bất phương trình f(x) < g(x).

2. Hệ bất phương trình một ẩn

Việc tìm tập hợp các nghiệm chung của một tập hợp các bất phương trình một ẩn:

ki hiệu là ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f1(x)<g1(x)f2(x)<g2(x)…fn(x)<gn(x)

Giải hệ bất phương trình 1 ẩn bằng cách tìm giao các tập hơp nghiệm của các bất phương trình thuộc hệ.

3. Bất phương trình tương đương

Hai bất phương f1(x)<g1(x) và f2(x)<g2(x) được gọi là tương đương, kí hiệu:

f1(x)<g1(x) <=> f2(x)<g2(x) nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm.

– Định lí: Gọi D là TXĐ của bất phương trình f(x) < g(x), h(x) là biểu thức xác định ∀ x ∈ D thì:

a) f(x) + h(x) < g(x) + h(x) <=> f(x) < g(x).

Hệ quả f(x) < g(x) + p(x) <=> f(x) – g(x) < p(x)

b) f(x).h(x) < g(x).h(x) <=> f(x) < g(x) nếu h(x) > 0 ∀ x ∈ D

f(x).h(x) < g(x).h(x) <=> f(x) > g(x) nếu h(x) < 0 ∀ x ∈ D.