Bài 3 (trang 92 SGK Đại số 11): Dãy số (u_n) cho bởi u₁ = 3, u_n+1 = √(1+u_n²) , n > 1

a. Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát u_n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải Bài 3 (trang 92 SGK Đại số 11)

a. Năm số hạng đầu của dãy số

u_n =√(n+8) (1)

Rõ ràng (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k, nghĩa là u_k = √(k+8)

Vậy (1) đúng với n = k + 1, do đó đúng với mọi n ∈ N*

Bài 4 (trang 92 SGK Đại số 11): Xét tính tăng, giảm của các dãy số (u_n), biết:

Lời giải Bài 4 (trang 92 SGK Đại số 11)

∀n ∈ N*, n ≥ 1 => u_n+1 – u_n > 0

=> u_n+1 > u_n => (u_n) là dãy số tăng

Nhận xét:

{(-1)ⁿ > 0 nếu n chẵn {u_n > 0 nếu n chẵn

{(-1)ⁿ < 0 nếu n lẽ {u_n < 0 nếu n lẻ

Và 2ⁿ + 1 > 0 ∀ n ∈ N*

=>u₁ < 0, u₂ > 0, u₃ < 0, u₄> 0,…

=>u₁ < u₂, u₂ > u₃, u₃ < u₄,…

=>dãy số (u_n) không tăng, không giảm.