Bài 2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 10. Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn ${34}^{}$ rồi viết các tỉ số lượng giác của góc ${34.}^{}$

Hướng dẫn giải:

Vẽ tam giác ABC vuông tại A, $\hat{C}={34}^{}$

Để vẽ được tam giác đề yêu cầu, chúng ta thực hiện các bước như sau:

B1. Vẽ đoạn thẳng AB với độ dài bất kì.

B2. Từ A dựng tia Ax vuông góc với đoạn thẳng AB

B3. Từ B dùng thước đo góc vẽ tia By sao cho góc ABy bằng 34 độ.

B4. Ax và By cắt nhau tại C.

B5. Vẽ tam giác ABC

Tỉ số lượng giác của góc 34 độ là:

$sin{34}^{}=\frac{A\mathrm{C/}}{BC}$

$cos{34}^{}=\frac{A\mathrm{B/}}{BC}$

$tg{34}^{}=\frac{A\mathrm{C/}}{AB}$

$cot{34}^{}=\frac{A\mathrm{B/}}{AC}$

Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó $AC=0,9m$, $BC=1,2m$. Tính các tỷ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỷ số lượng giác của góc A.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại C, ta có:

$AB=\sqrt{A{\mathrm{C^}}^2+B{\mathrm{C^}}^2}=\sqrt{0,{\mathrm{9^}}^2+1,{\mathrm{2^}}^2}=1,5$

Từ đó, ta có:

$sinA=cosB=\frac{B\mathrm{C/}}{AB}=\frac{4}{5}$

$sinB=cosA=\frac{A\mathrm{C/}}{AB}=\frac{3}{5}$

$tgA=cotB=\frac{B\mathrm{C/}}{AC}=\frac{4}{3}$

$tgB=cotA=\frac{A\mathrm{C/}}{BC}=\frac{3}{4}$

Nhận xét: Với hai góc phụ nhau, ta có sin góc này bằng cosin góc kia, tg góc này bằng cotan góc kia!

Bài 12. Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn ${45}^{\circ }$

$sin{60}^{\circ },cos{75}^{\circ },sin{52}^{\circ }{30}^{\prime },cotg{82}^{\circ },tg{80}^{\circ }.$

Giải:

Vận dụng định lý về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau ta có:

$sin{60}^{}=cos({90}^{}-{60}^{})=cos{30}^{}$

$cos{75}^{}=sin({90}^{}-{75}^{})=sin{15}^{}$

$sin{\mathrm{52\prime }}^{}{\mathrm{30″}}^{}=sin52,{\mathrm{5\prime }}^{}=cos({90}^{}-52,5^{})=cos37,5^{}$

$cot{82}^{}=tan({90}^{}-{82}^{})=tan{8}^{}$

$tan{80}^{}=cot\left({\mathrm{90-}}^{}{80}^{}\right)=cot{10}^{}$

Bài 13. Dựng góc nhọn $\alpha$ , biết:

a) $sin\alpha =\frac{\mathrm{2/}}{3}$

b) $cos\alpha =0,6$

c) $tg\alpha =\frac{\mathrm{3/}}{4}$

d) $cotg\alpha =\frac{\mathrm{3/}}{2}$

Hướng dẫn giải:

a) (H.a)

– Dựng góc vuông xOy.

-Trên tia Ox đặt OA=2

– Dựng đường tròn (A;3) cắt tia Oy tại B

Khi đó $\widehat{OBA}=\alpha$

Thật vậy $sin\alpha =\frac{O\mathrm{A/}}{OB}=\frac{\mathrm{2/}}{3}$

b) (H.b)

Tương tự câu a, ta sẽ tính độ lớn cạnh góc vuông còn lại bằng Pytago:

$=\sqrt{{\mathrm{5^}}^2-{\mathrm{3^}}^2}=4$

Vậy ta sẽ vẽ một góc vuông, và vẽ hai độ lớn là $3$ và $4$

Hình trên cho ta thấy:

$cos\alpha =cosABC=\frac{3}{5}$

c) Vẽ tam giác vuông có hai cạnh có độ lớn là $3$ và $4$

Hình trên cho ta thấy:

$tg\alpha =tgACB=\frac{\mathrm{3/}}{4}$

d) Vẽ tam giác vuông có hai cạnh có độ lớn là $3$ và $2$

Hình trên cho ta thấy:

$cot\alpha =cotABC=\frac{\mathrm{3/}}{2}$

 Bài 14. Sử dụng định nghĩa tỉ số các lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng: Với góc nhọn $\alpha$ tùy ý, ta có:

a)$tg\alpha =\frac{sin\mathrm{\alpha /}}{cos\alpha };$

$cotg\alpha =\frac{cos\mathrm{\alpha /}}{sin\alpha };$

$tg\alpha \cdot cotg\alpha =1$

b) $sin{\mathrm{\alpha ^}}^2+cos{\mathrm{\alpha ^}}^2=1$

Gợi ý: Sử dụng định lý Py-ta-go.

Hướng dẫn giải:

a) $tg\alpha =\frac{A\mathrm{B/}}{AC}=\frac{AB\cdot B\mathrm{C/}}{AC\cdot BC}$

$\Rightarrow tg\alpha =\frac{A\mathrm{B/}}{BC}÷\frac{A\mathrm{C/}}{BC}=\frac{sin\mathrm{\alpha /}}{cos\alpha }$

$tg\alpha \cdot cotg\alpha =\frac{A\mathrm{B/}}{AC}\cdot \frac{A\mathrm{C/}}{AB}=1$

$cotg\alpha =\frac{\mathrm{1/}}{tg\alpha }=\frac{\mathrm{1/}}{\frac{sin\alpha }{cos\alpha }}=\frac{cos\alpha }{sin\alpha }$

b) $si{n}^{}\mathrm{\alpha ^2}+co{s}^{}\mathrm{\alpha ^2}=\frac{A{\mathrm{B^}}^{\mathrm{2/}}}{B{\mathrm{C^}}^2}+\frac{A{\mathrm{C^}}^{\mathrm{2/}}}{B{\mathrm{C^}}^2}=\frac{B{\mathrm{C^}}^{\mathrm{2/}}}{B{\mathrm{C^}}^2}=1$

Nhận xét: Ba hệ thức:

$tg\alpha =\frac{sin\mathrm{\alpha /}}{cos\alpha }$;

$cotg\alpha =\frac{cos\mathrm{\alpha /}}{sin\alpha };$

$si{n}^{}\mathrm{\alpha ^2}+co{s}^{}\mathrm{\alpha ^2}=1$ là những hệ thức cơ bản bạn cần nhớ để giải một số bài tập khác.

Bai 16: Cho tam giác vuông có một góc bằng ${60}^{\circ }$và cạnh huyền có độ dài bằng 8. Hãy tìm độ dài của cạnh đối diện góc ${60}^{}$

Hướng dẫn giải:

Xem hình dưới:

Bài toán yêu cầu tính cạnh AC

Nhìn vào hình vẽ, ta thấy hệ thức liên quan đến cạnh AC cần tìm, cạnh huyền BC cho trước, và góc ABC bằng 60 độ cho trước, ta có:

$sinB=\frac{A\mathrm{C/}}{BC}\Rightarrow AC=B\mathrm{C/}sinB=\mathrm{8/}sin{60}^{\circ }=4\sqrt{3}$.