Bài 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

A. Kiến thức cơ bản:

1. Khái niệm về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: (I) $\{\begin{array}{ccc}ax+by=\mathrm{c\; ,}& & \\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }\end{array}$trong đó ax + by = c và a'x + b'y = c' là những phương trình bậc nhất hai ẩn. Nếu hai phương trình của hệ có nghiệm chung thì nghiệm chung ấy gọi là nghiệm của hệ phương trình (I). Trái lại, nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) là vô nghiệm.

Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

2.Minh họa hình học tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn .

Đối với hệ phương trình (I), ta có:

Nếu (d) cắt (d’) thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.

Nếu (d) song song với (d’) thì hệ (I) vô nghiệm.

Nếu (d) trùng với (d’) thì hệ (I) có vô số nghiệm.

3. Hệ phương trình tương đương:

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.

B, Bài tập 

5. Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng hình học:

a) $\{\begin{array}{c}2x-y=\mathrm{1\; ,}\\ x-2y=-1\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}2x+y=\mathrm{4\; ,}\\ -x+y=1\end{array}$

Bài giải:

a)  ,$\{\begin{array}{c}2x-y=\mathrm{1\; ,}\\ x-2y=-1\end{array}$

Vẽ (d₁): $2x-y=1$

Cho $x=0\Rightarrow y=-1$, ta được $A(0;-1)$

Cho $y=1\Rightarrow x=\mathrm{1,}$ta được $B(1;1)$.

Vẽ (d₂): $x-2y=-1$

Cho $x=-1\Rightarrow y=0$, ta được $C(-1;0)$.

Cho $y=2\Rightarrow x=3$, ta được $D=(3;2)$.

Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M có tọa độ $M(1,1)$

Thay $x=1,y=1$ vào các phương trình của hệ ta được:

$2.1-1=1$ (thỏa mãn)

$1-2.1=-$ (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có một nghiệm $(x;y)=(1;1)$.

b)  ,$\{\begin{array}{c}2x+y=\mathrm{4\; ,}\\ -x+y=1\end{array}$

Vẽ (d₁): $2x+y=4$

Cho $x=0\Rightarrow y=4$, ta được $A(0;4)$

Cho $y=0\Rightarrow x=2$, ta được $B(2;0)$

Vẽ (d₂): $-x+y=1$

Cho $x=0\Rightarrow y=1$, ta được $C(0;1)$.

Cho $y=0\Rightarrow x=-1$, ta được $D(-1;0)$.

Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm N có tọa độ $N(1;2)$.

Thay $x=1,y=2$vào các phương trình của hệ ta được:

$2.1+2=4$ và $-1+2=1$ (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có một nghiệm $(x;y)=(1;2)$

6. Đố: Bạn Nga nhận xét: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau. Bạn Phương khẳng định: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì cũng luôn tương đương với nhau.

Theo em, các ý kiến đó đúng hay sai ? Vì sao ? (có thể cho một ví dụ hoặc minh họa bằng đồ thị).

Bài giải:

Bạn Nga đã nhận xét đúng vì hai hệ phương trình cùng vô nghiệm có nghĩa là chúng cùng có tập nghiệm bằng Φ.

Bạn Phương nhân xét sai. Chẳng hạn, hai hệ phương trình:

$\{\begin{array}{ccc}y=\mathrm{x\; ,}& & \\ y=x\end{array}$ và $\{\begin{array}{ccc}y=-\mathrm{x\; ,}& & \\ y=-x\end{array}$

đều có vô số nghiệm nhưng tập nghiệm của hệ thứ nhất được biểu diễn bởi đường thẳng y = x, còn tập nghiệm của phương trình thứ hai được biểu diện bởi đường thẳng y = -x. Hai đường thẳng này là khác nhau nên hai hệ đang xét không tương đương (vì không có cùng tập nghiệm).

7. Cho hai phương trình $2x+y=4$ và $3x+2y=5$.

a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.

b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong mỗi một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng.

Bài giải:

a) $2x+y=4\iff y=-2x+4\iff x=-\frac{\mathrm{1/}}{2}y+2$.

Do đó phương trình có nghiệm dạng tổng quát như sau:

$\{\begin{array}{c}x\in \mathrm{R\; ,}\\ y=-2x+4\end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{c}x=-\frac{\mathrm{1/}}{2}y+\mathrm{2\; ,}\\ y\in R\end{array}$

$3x+2y=5\iff y=-\frac{\mathrm{3/}}{2}x+\frac{\mathrm{5/}}{2}$

Do đó phương trình có nghiệm tổng quát như sau: 

$\{\begin{array}{c}x\in \mathrm{R\; ,}\\ y=-\frac{\mathrm{3/}}{2}x+\frac{\mathrm{5/}}{2}\end{array}$

b) Vẽ (d₁): $2x+y=4$

– Cho $x=0\Rightarrow y=4$ được $A(0;4)$.

– Cho $y=0\Rightarrow x=2$được $B(2;0)$

Vẽ (d₂): $3x+2y=5$

– Cho $x=0\Rightarrow y=\frac{\mathrm{5/}}{2}$ ,ta được $M\left(0;\frac{\mathrm{5/}}{2}\right)$.

– Cho $y=0\Rightarrow x=\frac{\mathrm{5/3}}{}$ ,ta được $N\left(\frac{\mathrm{5/}}{3};0\right)$.

Hai đường thẳng cắt nhau tại $D(3;-2)$.

Thay $x=3,y=-2$ vào từng phương trình ta được:

$2.3+(-2)=4$ và $3.3+2.(-2)=5$ (thỏa mãn)

Vậy (x = 3; y = -2) là nghiệm chung của các phương trình đã cho.

8. Cho các hệ phương trình sau:

$a)\{\begin{array}{c}x=\mathrm{2\; ,}\\ 2x-y=3\end{array}$

$b)\{\begin{array}{c}x+3y=\mathrm{2\; ,}\\ 2y=4\end{array}$

Trước hết, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình trên (giải thích rõ lí do). Sau đó, tìm tập nghiệm của các hệ đã cho bằng cách vẽ hình.

Bài giải:

$a)\{\begin{array}{c}x=\mathrm{2\; ,}\\ 2x-y=3\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=\mathrm{2\; ,}\\ y=2x-3\end{array}$

Hệ có nghiệm duy nhất vì một đồ thị là đường thẳng $x=2$ song song với trục tung, còn một đồ thị là đường thẳng $y=2x-3$ cắt hai trục tọa độ.

Vẽ (d₁): $x=2$

Vẽ (d₂ ): $2x-y=3$

– Cho $x=0\Rightarrow y=-3$ ta được $A(0;-\mathrm{3)}$.

– Cho $y=0\Rightarrow x=\frac{\mathrm{3/}}{2}$ ta được $B\left(\frac{\mathrm{3/}}{2};0\right)$.

 

Ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại $N(2;1)$.

Thay $x=2,y=1$ vào phương trình $2x-y=3$ ta được $2.2-1=3$ (thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(2;1)$

$b)\{\begin{array}{c}x+3y=\mathrm{2\; ,}\\ 2y=4\end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{\mathrm{3\; ,}}\\ y=2\end{array}$

Hệ có nghiệm duy nhất vì một đồ thị là đường thẳng $y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$ cắt hai trục tọa độ, còn một đồ thị là đường thẳng $y=\mathrm{2\; s}$ong song với trục hoành.

Vẽ (d₁): $x+3y=2$

–  Cho $x=0\Rightarrow y=\frac{\mathrm{2/}}{3}$ ta được $A(0;\frac{\mathrm{2/}}{\mathrm{3)}}$ .

– Cho $y=0\Rightarrow x=2$ ta được $B(2;0)$.

Vẽ (d₂): $y=2$

Ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại $M(-4;2)$

Thay $x=-4,y=2$ vào phương trình $x+3y=2$ ta được $-4+3.2=2$ (thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(-4;2)$.