Phương pháp đổi biến số
Ta biết rằng nếu ∫f(x)dx=F(x)+C thì ∫f(t)dt=F(t)+C.
Từ đó ta có phương pháp để tìm nguyên hàm của những hàm số dạng g(x)=f(u(x))u′(x) bằng cách đặt t=u(x).
Nội dung phương pháp đổi biến số tính: ∫g(x)dx=∫f(u(x))u′(x)dx
Đặt t=u(x)⇒dt=u′(x)dx (lấy đạo hàm hai vế)
⇒∫g(x)dx=∫f(t)dt=F(t)+C
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=sin3xcosx
Phân tích: Ta thấy f(x)=sin3xcosx=(sinx)3(sinx)′ nên ta có thể đặt t=sinx.
Giải
t=sinx⇒dt=cosxdx
⇒∫sin3xcosxdx=∫t3dt=t44+C=sin4x4+C (C∈R)
Ví dụ 2: Tính ∫xx2+1−−−−−√dx
Phân tích: xx2+1−−−−−√=(x2+1)12122x=12(x2+1)12(x2+1)′
Giải
Đặt t=x2+1⇒dt=2xdx
∫xx2+1−−−−−√dx=∫(x2+1)12122xdx=12∫t12dt=t323+C
=(x2+1)323+C=(x2+1)x2+1√3+C (C∈R)
Lưu ý: Ta có thể giải ví dụ 2 như sau:
t=x2+1−−−−−√⇒t2=x2+1⇒2tdt=2xdx⇒tdt=xdx
⇒∫xx2+1−−−−−√dx=∫x2+1−−−−−√.xdx=∫t.tdt=∫t2dt
=t33+C=(x2+1√)33+C=(x2+1)x2+1√3+C
Nguyên hàm của một số hàm số hợp đơn giản
1) ∫kdx=kx+C
2) ∫(ax+b)αdx=1a(ax+b)α+1α+1+C(α≠1)
3) ∫dxax+b=1aln|ax+b|+C(x≠0)
4) ∫eax+bdx=1aeax+b+C
5) ∫cos(ax+b)dx=1asin(ax+b)+C
6) ∫sin(ax+b)dx=−1acos(ax+b)+C
7) ∫1cos2(ax+b)dx=1atan(ax+b)+C
8) ∫1sin2(ax+b)dx=−1acot(ax+b)+C
Các bạn có thể chứng minh các công thức trên bằng phương pháp đổi biến và sau này trong quá trình làm bài tập ta có thể áp dụng ngay các công thức nguyên hàm trên mà không phải chứng minh lại.
Phương pháp nguyên hàm từng phần
Phương pháp tính nguyên hàm từng phần áp dụng để tính nguyên hàm của những hàm số f(x) có dạng tích của hai hàm số dạng: f(x)=u(x).v′(x)
Theo công thức đạo hàm của một tích, ta có:
(uv)′=u′v+uv′⇒uv′=(uv)′−vu′
⇒∫uv′dx=∫[(uv)′−u′v]dx=uv−∫u′vdx
Hay ta có: ∫udv=uv−∫vdu
Đây được gọi là công thức tính nguyên hàm từng phần.
Phương pháp nguyên hàm từng phần: Tính ∫f(x)dx=∫u(x).v′(x)dx
Đặt {u=u(x)⇒du=u′(x)dx (lay dao ham hai ve)dv=v′(x)dx⇒v=v(x) (lay nguyen ham hai ve)
⇒∫f(x)dx=uv−∫vdu
Chú ý: Phương pháp nguyên hàm từng phần thường áp dụng cho các hàm số có dạng tích của hai hàm số thuộc các dạng như: đa thức, mũ, lượng giác, logarit.
Chẳng hạn như: ∫P(x).exdx ∫P(x).sinxdx ∫P(x).lnxdx
Với P(x) là một hàm đa thức.
Với dạng này ta cần nhớ thứ tự ưu tiên đặt u là: log, đa, mũ, lượng.
Ví dụ 3: Tính nguyên hàm: ∫(2x−1)exdx
Phân tích: Hàm số có dạng tích của một đa thức và một hàm mũ. Vậy theo chú ý trên ta sẽ đặt u là đa thức, phần còn lại là dv.
Giải
Đặt {u=2x−1⇒du=2dxdv=exdx⇒v=ex
⇒∫(2x−1)exdx=(2x−1)ex−∫ex2dx=(2x−1)ex−2ex+C
=(2x−3)ex+C
Ví dụ 4: Tính ∫(x2−3x)lnxdx
Giải
{u=lnx⇒du=1xdxdv=(x2−3x)dx⇒v=13x3−32x2
⇒∫(x2−3x)lnxdx=(13x3−32x2)lnx−∫(13x3−32x2)1xdx
=(13x3−32x2)lnx−∫(13x2−32x)dx
=(13x3−32x2)lnx−(16x3−34x2)
BÀI TẬP ÁP DỤNG
