Trong bài này ta sẽ tìm hiểu một số phương pháp giải phương trình số phức:
Phương pháp 1: rút z hoặc z¯
Phương pháp này có thể áp dụng cho các phương trình đơn giản chỉ có ẩn z hoặc z¯.
Ví dụ 1: Tìm số phức z thỏa: (1−i)z+3−4i=0.
Giải:
(1−i)z+3−4i=0⇔z=−3+4i1−i⇔z=−72+12i
Ví dụ 2: Tìm số phức z thỏa: (iz¯−3)(2−i)+z¯(1+2i)=i+1
Giải:
(iz¯−3)(2−i)+z¯(1+2i)=i+1
⇔(2i+1)z¯−6+3i+z¯(1+2i)=i+1
⇔z¯(2i+1+1+2i)=i+1+6−3i
⇔z¯=7−2i2+4i=310−85i⇒z=310+85i
Phương pháp 2: đặt z=a+bi,(a,b∈R)
Phương pháp này có thể sử dụng với các phương trình có chứa nhiều ẩn như z,z¯,|z|. Ta áp dụng lý thuyết hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
Ví dụ 3: Tìm số phức z biết (2−i)z−(5+3i)z¯¯¯=−17+16i
Giải:
Đặt z=a+bi,(a,b∈R). Ta được phương trình:
(2−i)(a+bi)−(5+3i)(a−bi)=−17+16i
⇔2a+2bi−ai+b−5a+5bi−3ai−3b=−17+16i
⇔{2a+b−5a−3b=−172b−a+5b−3a=16
⇔{−3a−2b=−17−4a+7b=16⇔{a=3b=4
Vậy z=3+4i.
Ví dụ 4: Tìm số phức z biết z.z¯¯¯+(z−z¯¯¯)=4−2i
Giải:
Đặt z=a+bi,(a,b∈R). Ta được phương trình:
(a+bi)(a−bi)+(a+bi−a+bi)=4−2i
⇔a2+b2+2bi=4−2i
⇔{a2+b2=42b=−2⇔{a2+1=4b=−1⇔{a=±3–√b=−1
Vậy z=3–√−i hoặc z=3–√+i
Phương pháp 3: sử dụng các tính chất của số phức
Ta có thể sử dụng các tính chất của số phức liên hợp và môđun của số phức:
| z1±z2¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z¯1±z¯2 | z1.z2¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z¯1.z¯2 | (z1z2)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z¯1z¯2 |
| |z1|.|z2|=|z1.z2| | |z1||z2|=∣∣z1z2∣∣ | z.z¯=|z|2 |
Phương pháp này sử dụng trong các bài toán tương đối khó, nếu giải bằng phương pháp 2 có thể dẫn đến các hệ phương trình phức tạp.
Ví dụ 5: Tìm số phức z biết ∣∣z2+z¯∣∣=2 và |z|=2.
Giải:
Ta có: {∣∣z2+z¯∣∣=2|z|=2⇒∣∣z2+z¯∣∣.|z|=4
⇔∣∣z3+|z|2∣∣=4⇔∣∣z3+4∣∣=4
Đặt w=z3 ta được: {|w+4|=4|w|=8
Đặt w=a+bi,(a,b∈R) ta được:
{|w+4|=4|w|=8⇔{(a+4)2+b2=16a2+b2=64⇔{a=−8b=0
Vậy w=−8⇔z=−2 (thử lại ta thấy thỏa yêu cầu).
Ví dụ 6: Tìm số phức z biết (1+2i)|z|=10√z−2+i.
Giải:
(1+2i)|z|=10√z−2+i
⇔10√z=|z|+2|z|i+2−i
⇒∣∣10√z∣∣=||z|+2|z|i+2−i|
⇔10|z|2=(|z|+2)2+(2|z|−1)2
⇔10=|z|2(|z|2+4|z|+4+4|z|2−4|z|+1)
⇔10=|z|2(5|z|2+5)⇔|z|2=1⇔|z|=1
Thế lại ta được: 10√z=3+i⇔z=310√10−10√10i