Chứng minh phương trình có nghiệm trong chương trình giải tích lớp 11 thuộc chương giới hạn – liên tục. Đây là một dạng toán khá đơn giản. Ta có bài toán như sau:

Chứng minh phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [a;b].

Các bước giải bài toán:

Bước 1. Chứng minh hàm số liên tục trên khoảng (a;b).

Bước 2. Tính f(a),f(b).

Bước 3. Chứng minh f(a).f(b)≤0.

Bước 4. Kết luận phương trình có ít nhất một nghiệm trên đoạn [a;b].

Phương pháp này tương đối dễ hiểu, vì hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a;b)nên đồ thì của hàm số này từ f(a) đến f(b) là một đường liền nét.

Mà f(a).f(b)≤0 nghĩa là f(a) và f(b) trái dấu nên một điểm nằm trên và một điểm nằm dưới trục hoành.

Vậy đồ thị của hàm số này từ f(a) đến f(b) sẽ cắt trục Ox tại ít nhất một điểm nên phương trình sẽ có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a;b).

Ta tham khảo một số ví dụ để nắm được phương pháp chứng minh phương trình có nghiệm.

Ví dụ 1. Chứng minh phương trình x4−3x2+5x−6=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;2).

Hướng dẫn:

Đặt f(x)=x4−3x2+5x−6 thì f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R, vậy f(x) liên tục trên khoảng (1;2).

f(1)=−3,f(2)=8

Suy ra f(1).f(2)=−24 < 0

Vậy phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;2).

Ví dụ 2. Chứng minh phương trình m(x−1)3(x−2)+2x−3=0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Hướng dẫn:

Đặt f(x)=m(x−1)3(x−2)+2x−3 thì f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.

f(1)=−1,f(2)=1⇒f(1).f(2)=−1 < 0

Vậy phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;2).

Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình m2x4+2mx3+3x−1=0 luôn có nghiệm với mọi m.

Hướng dẫn: