Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S(I,R) và mặt phẳng (P). Ký hiệu d là khoảng cách từ I đến (P). Ta có:

Trường hợp 1: Nếu d>R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung.     

Trường hợp 2: Nếu d=R thì mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Ta gọi đây là điều kiện tiếp xúc.

Trường hợp 3: Nếu d<R thì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính là r=R2−d2−−−−−−√.

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α):2x−y+2z−7=0 và mặt cầu (S):(x−1)2+y2+(z+2)2=9. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (α) và tiếp xúc với (S).

Giải

Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;−2), bán kính R=3.

Vì (P)//(α) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 2x−y+2z+m=0,m≠−7.

Vì (P) tiếp xúc với mặt phẳng (α) nên áp dụng điều kiện tiếp xúc ta có:

d(I,(P))=R⇔|2−4+m|3=3⇔[m=11m=−7(loại)

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: 2x−y+2z+11=0

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α):x−2y+z+1=0 và điểm I(2;−1;1). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt mặt phẳng (α) theo giao tuyến là đường tròn có diện tích bằng 4π.

Giải

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến. Ta có: πr2=4π⇒r=2.

Gọi d là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (α). Dễ dàng tính được d=6–√.

Gọi R là bán kính mặt cầu (S). Ta có: R=r2+d2−−−−−−√=10−−√.

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: (x−2)2+(y+1)2+(z−1)2=10.

Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu S(I,R) và đường thẳng Δ. Ký hiệu d là khoảng cách từ I đến Δ. Ta có:

Trường hợp 1: Nếu d>R thì đường thẳng Δ và mặt cầu (S) không có điểm chung.

Trường hợp 2: Nếu d=R thì đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu (S). Ta gọi đây là điều kiện tiếp xúc.

Trường hợp 3: Nếu d<R thì đường thẳng Δ và mặt cầu (S) cắt nhau tại hai điểm M, N với MN=2R2−d2−−−−−−√.

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d:x−14=y+1−3=z−11. Viết phương trình mặt cầu (S),biết (S) có tâm I(1;2;−3) và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho AB=26−−√.

A. (S):(x+1)2+(y+2)2+(z−3)2=5.

B. (S):(x−1)2+(y−2)2+(z+3)2=5.

C. (S):(x+1)2+(y+2)2+(z−3)2=25.

D. (S):(x−1)2+(y−2)2+(z+3)2=25.

Giải

Gọi d là khoảng cách từ I đến Δ, dễ dàng tính được d=74√2.

Gọi R là bán kính mặt cầu (S) thì R=d2+(AB2)2−−−−−−−−−√=5

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: (S):(x−1)2+(y−2)2+(z+3)2=25.

Ta chọn đáp án D.