Phương trình lượng giác cơ bản là những phương trình có dạng f(x) = a. Trong đó f(x) là một trong bốn hàm số sinx, cosx, tanx, cotx và a là một số thực. Ta sẽ lần lượt xét bốn phương trình này.

Phương trình sinx = a

• Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1≤a≤1.
• Với a thỏa điều kiện trên, ta có công thức nghiệm của phương trình:

sinx=a⇔[x=α+k2πx=π−α+k2π(k∈Z)

(với α là một góc lượng giác thỏa sinα=a)

Lưu ý: Với sinα=a và α∈[−π2;π2] thì ta ký hiệu α=arcsina. Vậy phương trình sinx = a có công thức nghiệm:

sinx=a⇔[x=arcsina+k2πx=π−arcsina+k2π(k∈Z)

Ví dụ:

a. sinx=12⇔sinx=sinπ6⇔[x=π6+k2πx=π−π6+k2π⇔[x=π6+k2πx=5π6+k2π(k∈Z)

b. sinx=13⇔[x=arcsin13+k2πx=π−arcsin13+k2π(k∈Z)

c. sinx=2–√ : phương trình vô nghiệm vì 2–√>1.

Phương trình cosx = a

• Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1≤a≤1.
• Với a thỏa điều kiện trên, ta có công thức nghiệm của phương trình:

cosx=a⇔[x=α+k2πx=−α+k2π(k∈Z)

(với α là một góc lượng giác thỏa cosα=a)

Lưu ý: Với cosα=a và α∈[0;π] thì ta ký hiệu α=arccosa. Vậy phương trình cosx = a có công thức nghiệm:

cosx=a⇔[x=arccosa+k2πx=−arccosa+k2π(k∈Z)

Ví dụ:

a. cosx=−12⇔cosx=cos2π3⇔[x=2π3+k2πx=−2π3+k2π(k∈Z)

b. cosx=23⇔[x=arccos23+k2πx=π−arccos23+k2π(k∈Z)

c. cosx=−2–√ : phương trình vô nghiệm vì −2–√<−1.

Phương trình tanx = a

• Phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.
• Công thức nghiệm của phương trình:

x=tana+kπ(k∈Z)

Lưu ý: Với tanα=a và α∈(−π2;π2) thì ta ký hiệu α=arctana. Vậy phương trình tanx = a có công thức nghiệm:

tanx=a⇔x=arctana+kπ(k∈Z)

Ví dụ:

a. tanx=3–√⇔tanx=tanπ3⇔x=π3+kπ(k∈Z)

b. tanx=−4⇔x=arctan(−4)+kπ(k∈Z)

Phương trình cotx = a

• Phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.
• Công thức nghiệm của phương trình:

x=cota+kπ(k∈Z)

Lưu ý: Với cotα=a và α∈[0;π] thì ta ký hiệu α=arccota. Vậy phương trình cotx = a có công thức nghiệm:

cotx=a⇔x=arccota+kπ(k∈Z)

Ví dụ:

a. cotx=−3–√⇔cotx=cot(−π6)⇔x=−π6+kπ(k∈Z)

b. cotx=3⇔x=arccot3+kπ(k∈Z)

Một số lưu ý

• Hạn chế sử dụng arcsina,arccosa,arctana,arccota nếu a là giá trị lượng giác của các cung đặc biệt.
• Trong các công thức nghiệm, không được sử dụng đồng thời hai đơn vị độ và radian.
• Các công thức nghiệm cần nhớ:

sinu=sinv⇔[u=v+k2πu=π−v+k2π(k∈Z)

cosu=cosv⇔[u=v+k2πu=−v+k2π(k∈Z)

tanu=tanv⇔u=v+kπ(k∈Z)

cotu=cotv⇔u=v+kπ(k∈Z)

Một số bài tập phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau:

a. sin2x=−2√2                b. cos(x−300)=12

c. tan(x4)=−3–√             d. cot(−3x)=2

Giải

a. sin2x=−2√2⇔sin2x=sin(−π4)⇔[2x=−π4+k2π2x=π+π4+k2π(k∈Z)

⇔[x=−π8+kπx=5π4+kπ

b. cos(x−300)=12⇔cos(x−300)=cos600⇔[x−300=600+k3600x−300=−600+k3600(k∈Z)

⇔[x=900+k3600x=−300+k3600

c. tan(x4)=−3–√⇔tan(x4)=tan(−π3)⇔x4=−π3+kπ(k∈Z)

⇔x=−4π3+k4π

d. cot(−3x)=2⇔−3x=arccot2+kπ(k∈Z)⇔x=−13arccot2−kπ3

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a. sin(2x−π5)=cos3x        b. tan(4x+200)=−cotx

Giải

a. sin(2x−π5)=cos3x⇔sin(2x−π5)=sin(π2−3x)

⇔[2x−π5=π2−3x+k2π2x−π5=π−(π2−3x)+k2π(k∈Z)

   (bạn đọc tự giải tiếp)

b. tan(4x+200)=−cotx⇔tan(4x+200)=−tan(900−x)

⇔tan(4x+200)=tan(x−900)⇔4x+200=x−900+k1800(k∈Z) 

(bạn đọc tự giải tiếp)

Bài tập đề nghị

Giải các phương trình lượng giác cơ bản sau:

1.sinx=sin(2x+π3)

2.cos(x+π3)=cos(3π2−2x)

3.sin5x=sin7x

4.tanx=tan(π3+3x)

5.sin(π3−3x)=sin(π2+x)

6.cos(6x+2π3)=cosx

7.tan(3x−1)=tanx

8.cot(5π6−x)=cot(π+x)

9.sin(7x3−π2)=sin2x

10.cos(2x3−π)=cosx3

11.sin(x+150)=sin(300−2x)

12.cos(x+450)=cosx

13.tan(3x−π4)=tanπ6

14.cot(x2−300)=cot300

15.sin(8x+1)=sin(x−2)

16.cos(200−3x)=cos(2x+100)

17.cot(x+π3)=cot(−x)

18.sin(7x+280)=sin(x−80)

19.cos(80+x)=cos2x

20.tan(x+450)=tan150

21.cos4x=12

22.sin(x+π3)=3√2

23.sin(x−π2)=1

24.cos3x=−3√2

25.2sin(4x+π3)=1

26.tan(2x+3)=−3–√

27.cot(150−x)=1

28.2sin2x−5=0

29.2cos(4x+300)+2–√=0

30.2sin(3x+2π3)+3–√=0

31.cos(x3+π6)=0

32.sin(8x+π2)=−1