Phương trình lượng giác là một nội dung quan trọng trong chương trình đại số – giải tích 11. Trong bài viết trước ta đã tìm hiểu lý thuyết và bài tập phương trình lượng giác cơ bản và một số dạng phương trình lượng giác đơn giản thường gặp. Trong bài này ta sẽ giải một số bài tập nâng cao.

Bài 1. Giải phương trình: 1sin2x+1sin4x+....+1sin2nx=0

Hướng dẫn giải

1sin2a=sinasina.sin2a=sin(2a−a)sina.sin2a=sin2a.cosa−sina.cos2asina.sin2a=cota−cot2a

Vậy

1sin2x+1sin4x+....+1sin2nx=0⇔cotx−cot2x+cot2x−cot4x+......+cot2n−1x−cot2nx=0⇔cotx=cot2nx⇔x=k1−2nπ(k∈)

Bài 2. Giải phương trình: 3√sin2x−cos2x−5sinx+(2−3√)cosx+3+3√2cosx+3√=1

Hướng dẫn giải

Điều kiện: 2cosx+3–√≠0⇔cosx≠−3√2

3√sin2x−cos2x−5sinx+(2−3√)cosx+3+3√2cosx+3√=1⇔3–√sin2x−cos2x−5sinx−3–√cosx+3=0⇔3–√cosx(2sinx−1)+2sin2x−5sinx+2=0⇔3–√cosx(2sinx−1)+(2sinx−1)(sinx−2)=0⇔(2sinx−1)(3–√cosx+sinx−2)=0

Đến đây bạn có thể tự giải tiếp.

Bài 3. Giải phương trình: 2+2√tanx+cot2x√=2–√+2sin2x

Hướng dẫn giải

Ta có: tanx+cot2x=sinxcosx+cos2xsin2x=sinx.sin2x+cosx.cos2xcosx.sin2x=1sin2x

Vậy: 2+2√tanx+cot2x√=2–√+2sin2x⇔(2+2–√)sin2x−−−−−√=2–√+2sin2x

Đến đây bạn có thể đặt t=sin2x−−−−−√ để đưa về phương trình bậc 2.

Một số bài tập phương trình lượng giác nâng cao

Bài 1. Tìm m để phương trình sin4x+cos4x+cos24x=m có 4 nghiệm thuộc đoạn [0;π4].

Bài 2. Giải phương trình: cosx−sinx+1sinx−1cosx+23=0

Bài 3. Giải phương trình: 4cot6x+3(1−cos2xsin2x)4=7

Bài 4. Giải phương trình: 5sinx+cos2x−−−−−−−−−−−−√+2cosx=0

Bài 5. Giải phương trình:  4sin25x−4sin2x+2(sin6x+sin4x)+1=0