Bài tập giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lớp 12 

A. Tóm tắt lý thuyết:

Định nghĩa. Cho hàm số y=f(x) xác định trên tập D. 

(i) Nếu f(x)≤M,∀x∈D và tồn tại x0∈D sao cho f(x0)=Mthì M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D. Kí hiệu: M=maxDf(x).

(ii) Nếu f(x)≥m,∀x∈D và tồn tại x0∈D sao cho f(x0)=m  thì m gọi là GTNN của hàm số y = f(x). Kí hiệu: m=minDf(x).

Có nhiều cách để tìm GTLN, GTNN của một hàm số như sử dụng phương pháp đánh giá, dùng các bất đẳng thức quen thuộc, bất đẳng thức cô si, dùng đạo hàm lập bảng biến thiên, áp dụng quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a; b]….

*Cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]:

Giả sử f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên (a;b), có thể trừ một số hữu hạn điểm. Nếu f'(x) =0 chỉ tại một số điểm thuộc khoảng (a;b) thì có thể tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] theo các bước sau:

1. Tìm các điểm x1,x2,…,xn thuộc khoảng (a;b) mà tại đó f(x) không có đạo hàm hoặc bằng 0.

2. Tính các giá trị f(x1),f(x2),…,f(xn),f(a),f(b).

3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó: M=max[a;b]f(x), m=min[a;b]f(x).

 

B. Bài tập:

Một phần của tài liệu này:

Phần I: Bài tập tự luận

Dạng 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ  nhất của hàm số.

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ  nhất của hàm số:

a) y=x4−2×2; 

b) y=(x+2)2xtrên (0;+∞);

c) y=2x−x2;

d) y=3×2−x+1×2−x+1;

e) y=x2−3x+1xvới x >0;

f) y=2×2+x+1x+1 trên (1;+∞);

g) y=x−1+4x+2 trên khoảng (−1;+∞);

h) y=2x+33×2−x+4.

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y=−x3+3x−2 trên đoạn [−3;0];

b) y=3x+2x+1 trên đoạn [0;2];

c) y=43x+cos⁡x trên đoạn [0;54].

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 

a) y=4×4−12×3+10×2 trên đoạn [0;65].

b) y=−2×3+6x−2 trên đoạn [-3;3].

c) y=−x4+2×2−1 trên đoạn [−2;15].

d) y=3x+42x+1 trên đoạn [0;4].

e) y=2x+1x−2 trên  đoạn [−12;1].

Dạng 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng cách đặt ẩn phụ:

Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y=3sin⁡x+2sin2⁡x−2;

b) y=−2cos⁡2x+cos⁡x−3;

c) y=cos⁡2x+3sin⁡x−2;

d) y=2+sin⁡x+2−sin⁡x;

e) y=2sin⁡x.cos⁡x+sin⁡x.cos⁡x;

f) y=2−x+1+x−−x2+x+2;

g) y=sin⁡x+2sin2⁡x+sin⁡x+2;

h) y=1−sin⁡xcos⁡x+sin⁡x−2.

Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y=f(x)=3×3−x2−7x+1 trên đoạn [0;2];

b) y=f(x)=x3−8×2+16x−9 trên đoạn [1;3];

c) y=f(x)=x+4−x2;(B−2013)

d) y=x+1×2+1trên đoạn [-1;2] (D – 2003)

e) y=x6+4(1−x2)3 trên đoạn [-1;1]. (Dự bị B – 2003)

Bài 8. Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn: x2+y2=2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=2(x3+y3)−3xy (CĐ 2008).

Bài 9. Cho hai số thực x,y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2+y2=1.  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=2(x2+6xy)1+2xy+2y2. (B-2008)

Bài 10. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x)=x−2×2+1x−2×2.

Bài 11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x)=sin⁡2x+sin⁡(x+π4)+3 trên đoạn [−π2;π2].

Phần II: Bài tập trắc nghiệm: 

Câu 1. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)=x4−x2 lần lượt là:

A. 0 và 2.

B. −2;2.

C. -2 và 2.

D. 0 và 2.

Đs: Đáp án C.

Câu 2. Cho hàm số f(x)=x+1x. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (0;+∞) bằng:

A. 2.

B.0.

C. 2.

D. 1

ĐS: Đáp án A.

Câu 12. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm đó để được 1 cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

A. x=6

B. x=3

C. x=2

D.x=4

ĐS: Đáp án C.