Các công thức giúp giải nhanh các câu hỏi trắc nghiệm cực trị hàm số trùng phương lớp 12 ôn thi THPT quốc gia.
Xét hàm số y=ax4+bx2+c(a≠0) (∗)
Ta có: y′=4ax3+2bx=2x(2ax2+b)
y′=0⟺x=0 hoặc x2=−b2a
(i) Hàm số (*) có 3 cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 3 nghiệm và đổi dấu khi đi qua nghiệm đó ⟺−b2a>0⟺ba<0⟺ab<0.
Đặc biệt:
-
Hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu khi và chỉ khi a > 0 và b < 0.
-
Hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu khi và chỉ khi a < 0 và b > 0.
(ii) Hàm số (*) có 1 cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 1 nghiệm và đổi dấu khi đi qua nghiệm đó ⟺−b2a≤0⟺ba≥0⟺ab≥0.
-
Hàm số (*) có 1 cực tiểu khi và chỉ khi a > 0 và b≥0.
-
Hàm số (*) có 1 cực đại khi và chỉ khi a < 0 và b≤0.
(iii) Khi ab <0 thì đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là: A(0;c),B(−b2a;−Δ4a);C(b2a;−Δ4a)với Δ=b2−4ac.
-
Phương trình qua các điểm cực trị B, C là: y=−Δ4a.
-
Phương trình qua các điểm cực trị A, B là: y=(−b2a)3x+c.
-
Phương trình qua các điểm cực trị A, C là: y=−(−b2a)3x+c.
-
Với BAC^=α.Ta có: cosα=b3+8ab3−8a.
-
Diện tích tam giác ABC: S=−b532a3
-
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: R=b3−8a8|a|b
-
Tam giác ABC vuông cân tại A ⟺b3+8a=0.
-
Tam giác ABC đều ⟺b3+24a=0.
-
Tam giác ABC có diện tích S⟺S2=−b532a3.
-
Tam giác ABC có hai cực trị B, C nằm trên trục hoành ⟺b2−4ac=0.
-
Tam giác ABC có trọng tâm O ⟺b2−6ac=0.
-
Tam giác ABC có trực tâm O ⟺b3=4ac−8a.