Trong bài viết này, mình đã sưu tầm và tổng kết lại một số công thức và phương pháp tính nhanh trắc nghiệm trong chuyên đề hàm số.
-
Hàm sốy=ax3+bx2+cx+d(a≠0).
Bài toán 1: Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d. Khi nào hàm số có hai điểm cực trị.
Phương pháp: y′=3ax2+2bx+c
Để hàm số có cực trị thì phương trình y′=0 có hai nghiệm phân biệt ⇔Δ>0 (Δ′>0) hay
| b2−3ac>0 |
Bài toán 2: Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d. Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính y’, giải phương trình bằng chức năng EQN và lưu hai nghiệm vào ô nhớ A, B bằng cách nhấn SHIFT RCL.
- Bước 2: Tính giá trị cực trị bằng cách nhập hàm số ax3+bx2+cx+d vào máy và sử dụng phím CALC để lưu vào ô nhớ C và D.
- Bước 3: Tính d2=(x2−x1)2+(y2−y1)2 hay d2=(A−B)2+(C−D)2.
Ví dụ: Tìm khoảng cách giữa hai điểm cực trị của hàm số y=x3−4×2+3x−5
Giải:
Bài toán 3: Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Phương pháp:
Cách 1: Gọi M(x,y) là một điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Ta có y′=3ax2+2bx+c=0.
Hơn nữa, y=ax3+bx2+cx+d=(13x+b9a)(3ax2+2bx+c)+(23c−2.b29a)x+d−bc9a
=(23c−2.b29a)x+d−bc9a.
Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
| y=(23c−2.b29a)x+d−bc9a |
Cách 2: Tìm hai điểm cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó.
- Bước 1: Giải phương trình y′=0 bằng chức năng EQN và lưu vào ô nhớ A, B.
- Bước 2: Tính tung độ tương ứng bằng cách nhập hàm và nhấn CALC.
- Bước 3: Giải hệ phương trình tìm các hệ số a và b của đường thẳng {Aa+b=CBa+b=D
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số y=x3−4×2+3x−5.
Giải:
Cách 1: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y=(23.3−2.(−4)29)x+(−5)−−4.39=−119x−113.
Cách 2:
Bài toán 4: Bài toán về đồng biến, nghịch biến.
Cách 1: Tính y’
Cách 2: Sử dụng máy tính.
Ví dụ 1: Hàm số y=x2−2x−5x−2 đồng biến trên
| A. (−∞,0)∪(3,+∞). | B. R. |
| C. (0,2)∪(2,4). | D. (−∞,2)∪(2,+∞). |
Cách 1:
y=x2−2x−5x−2=x−5x−2⇒y′=1+5(x−2)2>0 với ∀x≠2.
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞,2)∪(2,+∞). Chọn D.
Cách 2: Sử dụng trực tiếp Casio để thử đáp án.
Ta có định lí sau: Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b).
- Nếu f′(x)>0 với mọi x∈(a,b) thì hàm số đồng biến trên khoảng (a,b).
- Nếu f′(x)<0 với mọi x∈(a,b) thì hàm số nghịch biến trên khoảng (a,b).
⇒ Dùng chức năng tính đạo hàm tại một điểm và gán một giá trị x0 nằm trong tập xác định cho trước:
- Nếu kết quả S>0 thì hàm số đã cho đồng biến.
- Nếu kết quả S<0 thì hàm số đã cho nghịch biến.
Cụ thể với bài này: Nhấn tổ hợp SHIFT+ tích phân để tính đạo hàm tại một điểm.
Loại đáp án D vì TXĐ D=R∖{2}.
Nhập
thu được kết quả 6>0 nên loại A.
Nhập
thu được kết quả 1,556>0 nên loại C.
Ví dụ 2: Để hàm số y=x3+3mx2−4mx+4 đồng biến trên R thì
| A. 0≤m≤43. | B. −43≤m≤0. |
| C. 0≤m≤34. | D. −34≤m≤0. |
Giải:
Bước 1: Nhập dữ liệu với biến x ta gán vào biến X, tham số đi kèm ta gán vào biến Y.
Bước 2: Gán giá trị
- Gán giá trị cho biến X: Ta gán một giá trị nào đó trong tập xác định cho trước.
- Gán giá trị cho biến Y: Chúng ta quan sát vào các đáp án để gán gia trị cho biến Y.
Cụ thể:
– Nhập dữ liệu
– Gán giá trị (ấn nút CALC)
- Vì tập xác định bằng R nên gán giá trị X=0.
- Quan sát đáp án thấy m=0 đáp án nào cũng có nên ta không gán m=Y=0. Hai đáp án A và C có chiều như nhau. B và D cũng vậy.
+ Gán m=Y=34 ta có
Kết quả <0 nên loại A và C.
+ Gán m=Y=−43
Kết quả > 0 nên loại D.
Ví dụ 3: Hàm số y=m3x3−(m−1)x2+(m−2)x+13 đồng biến trên [2,+∞).
| A. m>0. | B. m≥0. | C. m>8. | D. m≤−2. |
Giải:
Đồng biến trên [2,+∞) nên gán X=2.
Gán Y=0, kết quả >0 thì chỉ có B đúng.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Hàm số y=(m−x)x2−m đồng biến trên (1,2) khi
| A. a>−3. | B. a<−3. | C. a>127. | D. a<127. |
Bài 2: Hàm số y=x3−3(2m+1)x2+(12m+5)x+2 đồng biến trên khoảng (2,+∞) khi
| A. −16√≤m≤16√. | B. m≤−16√. | C. m≥512. | D. m≤512. |
Bài toán 5: Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp:
– Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trong khoảng (a,b) thì luôn có GTLN, GTNN trên đoạn [a,b] và tìm như sau:
- Bước 1: MODE 7
- Bước 2: Nhập hàm f(x) ấn phím = sau đó nhập Start=a, End=b, Step= b−a1.
- Bước 3: Dựa vào bảng giá trị, tìm GTLN, GTNN của hàm số.
Ví dụ: Giá trị lớn nhất của hàm số y=x3−3×2−9x+35 trên đoạn [−1,1] là
| A. 40. | B. 21. | C. 50. | D. 35. |
Bước 1: MODE 7
Bước 2: Nhập f(X)=X3−3X2−9X+35 ấn phím = sau đó nhập Start=-1. End=1. Step= 0.2
Bước 3: Tra bảng nhận được và tìm GTLN
Dựa vào bảng trên, ta thấy GTLN của hàm số là 40.
Chú ý: Cách làm này vẫn đúng khi tìm GTLN và GTNN của một hàm số bất kì trên [a,b].
– Tìm GTLN, GTNN của hàm số không cho miền xác định của x.
- Bước 1: Tìm y’
- Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình y’=0.
- Bước 3: Tính giá trị của y tại các giá trị của nghiệm trên rồi kết luận.
Bài toán 6: Bài toán tương giao
Phương pháp: Dựa vào đáp án để thử.
Ví dụ: Tìm m để (C): y=−2×3+6×2+1 và d:y=mx+1 cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.
| A. m<92,m≠0. | B. m>92,m≠0. |
| C. m<−92,m≠0. | D. m>−92,m≠0. |
Giải: Nhận thấy cả 4 đáp án đều có điều kiện m≠0 nên ta bỏ qua điều kiện này trong quá trình thử.
– Đầu tiên ta thử với m=5, ta thấy phương trình có 1 nghiệm thực nên loại B, D.
– Thử tiếp với m=0, ta được phương trình có 3 nghiệm thực nên loại C nhận A.