Bài 2: Hình nón – Hình nón cụt – Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt
Bài 14 trang 166 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A ,góc B = 60° và BC =2a (đơn vị độ dài). Quay tam giác đó một vòng quanh cạnh huyền BC. Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của hình tạo thành.
Lời giải:
Khi quay tam giác ABC một vòng quanh cạnh huyền BC ta được hai hình nón có đáy úp vào nhau, bán kính đường tròn đáy bằng đường cao AH kẻ từ A đến cạnh huyền BC.
Trong tam giác vuông ABC ta có:
Bài 15 trang 166 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:
Cắt bỏ hình quạt OPSQ ( xem hình bên – phần gạch sọc). Biết độ dài góc (PRQ) là x thì phần còn lại có thể ghép thành hình nón nào dưới đây?
Lời giải:
Chọn đáp án A
Bài 16 trang 167 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:
Một chiếc cốc dạng hình nón chứa đầy rượu (hình sau). Cụ Bá uống một lượng rượu nên “chiều cao” của rượu còn lại trong cốc bằng một nửa chiều cao ban đầu . Hỏi cụ Bá đã uống bao nhiêu phần rượu trong cốc?
Lời giải:
Bài 17 trang 167 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:
Người ta minh họa một cái xô đựng nước như hình dưới .Thể tích nước chứa đầy xô sẽ là (tính theo cm3):
Lời giải:
Thể tích hình nón có đường kính đáy 0,2m:
Thể tích hình nón có đường kính đáy 0,1m:
Thể tích nước chứa đầy xô là :
Vậy chọn đáp án B
Bài 18 trang 167 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:
Diện tích toàn phần của hình nón theo các kích thước của hình bên dưới là:
A.220 B.264 C.308 D.374
(Chọn π =22/7 và tính gần đúng đến cm3)
Lời giải:
Diện tích xung quanh của hình nón :
Sxq = π.r.l = (22/7).7.10 =220 (cm2)
Diện tích đáy của hình nón:
Sđáy = π.r2 = (22/7).72= 154 (cm2)
Diện tích toàn phần của hình nón :
STP = Sxq + Sđáy = 220 + 154 =374 (cm2)
Vậy chọn đáp án D
Bài 19 trang 167 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:
Cho hình bình hành ABCD với AB=1,AD=x (x > 0) và góc (BAD) = 60°
a.Tính diện tích toàn phần S của hình tạo thành khi quay hình bình hành ABCD đúng một vòng quanh cạnh AB và diện tích toàn phần S1 của hình tạo thành khi quay cạnh AD
b.Xác định giá trị x khi S = S1 và S = 2S1
Lời giải:
a.*Khi quay hình bình hành ABCD một vòng quanh cạnh AB thì cạnh AD và BC vạch nên hai hình nón bằng nhau có đường sinh AD = BC = x, cạnh CD vạch nên hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính hình nón
Trong tam giác AHD,ta có:
Diện tích toàn phần của hình tạo thành bằng tổng diện tích xung quanh của hai hình nón và diện tích xung quanh của hình trụ
*Khi quay hình bình hành ABCD một vòng quanh AD thì cạnh AB và DC vạch nên hai hình nón bằng nhau có đường sinh AD = BC = 1, cạnh CD vạch nên hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính hình nón
Ta có:
Diện tích toàn phần của hình tạo thành bằng tổng diện tích xung quanh của hai hình nón và diện tích xung quanh của hình trụ
S1 = 2πDH.AB + 2πDH.AD = 
= π.√3 +π.x.√3 = π.√3 (x+1) (đvdt)
b.*Ta có: S = S1 ⇔ π.x.√3 (1+x) = π.√3 (x+1)
⇔ x(1+x) = x +1 ⇔ x2 -1 =0 ⇔ (x+1)(x-1) = 0
Vì x > 0 nên x+1 > 0
suy ra: x-1 = 0 ⇔ x = 1
*Ta có: S = 2S1 ⇔ .x.√3 (1+x) = 2.π.√3 (x+1)
⇔ x(x+1) = 2(x+1) ⇔ x2 – x -2 =0
⇔ x2 – 2x +x – 2 = 0 ⇔ (x+1)(x-2) = 0
Vì x > 0 nên x+1 > 0
suy ra : x-2 = 0 ⇔ x = 2
Bài 20 trang 168 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:
Hình bên có một hình nón ,bán kính đường tròn đáy là m/2 cm,chiều cao 2l cm và một hình trụ ,bán kính đường tròn đáy la m(cm), chiều cao 2l cm. Người ta múc đầy nước vào hình nón và đổ vào hình trụ (không chứa gì cả) thì độ cao của nước trong hình trụ là:
A.l/6 (cm) B.l (cm) C.5l/6 (cm) D. 11l/6 (cm)
Lời giải:
Thể tích hình nón :
Thể tích hình trụ : V2 = π.m2.2l= 2π m2 lTa có:
Vậy khi múc đầy nước vào hình nón và đổ vào hình trụ (Không chứa gì cả) thì độ cao của nước trong hình trụ là (1/12) .2l =l/6
Vậy chọn đáp án A
Bài 21 trang 168 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:
Nếu chiều cao và bán kính của đáy của một hình nón đều tăng lên và bằng 5/4 so với các kích thước tương ứng ban đầu thì trong các tỉ số sau đây, tỉ số nào là tỉ số giữa thể tích của hình nón mới với thể tích hình nón ban đầu?
A.5/4 B. 15/12 C. 25/16 D. 125/64
Lời giải:
Gọi r và d lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường cao hình nón
Thể tích hình nón : V = (1/3).πr2.h
Thể tích hình nón khi bán kính đáy và chiều cao tăng:
Vậy chọn đáp án D
Bài 22 trang 168 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:
Từ một hình nón , người thợ tiện có thể tiện ra một hình trụ cao nhưng hẹp hoặc một hình trụ rộng như thấp.Trong trường hợp nào thì người thợ tiện loại bỏ ít vật liệu hơn.
Lời giải:
Gọi R là bán kính đáy ,h là chiều cao hình nón , r là bán kính đáy hình trụ x=BE là chiều cao phần hình nón bị cắt đi
Ta có: MN // BC ⇒ ME/AD = BE/BD
hay r/R = x/h ⇒ r = (R.x)/h
Thể tích hình trụ:
Phần bỏ di của những hình nón nhỏ nhất nghĩa là thể tích của hình trụ lớn nhất
Vì π,R,h là các hằng số nên thể tích hình trụ lớn nhất khi và chỉ khi x2(2h-2x) lớn nhất
Ta có: x2(2h – 2x) = x.x(2h -2x)
Vì x + x + (2h -2x) =2h là một hằng số không đổi nên tích x.x(2h -2x) đạt giá trị lớn nhất khi ba số đó bằng nhau
Suy ra: x=2h – 2x ⇔ 3x =2h ⇒ x= (2/3)h
Vậy khi phần cắt bỏ ở phía trên hình nón có chiều cao bằng 2/3 chiều cao hình nón thì phần bỏ đi là ít nhất
Bài 23 trang 168 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:
Hình bên là hình nón .chiều cao là h(cm),bán kính đường tròn đáy là r(cm) và độ dài đường sinh là m(cm) thì thể tích hình nón này là:
A.π.r2h (cm3) B. (1/3)π. r2h (cm3)
C.π.r.m (cm3) D.πr(r+m) (cm3)
Lời giải:
Thể tích hình nón : V = (1/3)π.r2h (cm3)
Vậy chọn đáp án B
Bài 24 trang 169 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:
Một hình trụ có bán kính đáy 1cm và chiều cao 2cm người ta khoan đi một phần có dạng hình nón như hình vẽ thì phần thể tích còn lại của nó sẽ là :
Lời giải:
V1=π.r2.h = π.12.2 = 2π(cm3)
Thể tích hình nón:
V2 = (1/3)/π.r2h = (1/3)π.12.2 = (2/3)π (cm3)
Thể tích phần còn lại của hình trụ:
V = V1 – V2 = 2π – (2/3)π = (4/3)π (cm3)
Vậy chọn đáp án B
Bài 25 trang 169 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A .Gọi V1,V2,V3 theo thứ tự là thể tích ủa những hình sinh ra khi quay tam giác ABC một vòng xung quanh các cạnh BC , AB và AC.Chứng minh rằng :
Lời giải:
Đặt AB = c,AC = b,BC = a,AH = h là đường cao kẻ từ đỉnh A đến cạnh huyền BC
Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có: h = bc/a
*Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh huyền BC thì cạnh AB và AC vạch nên hai hình nón chung đáy có bán kính đáy bằng đường cao AH và tổng chiều cao hai hình nón bằng cạnh huyền BC
Thể tích của hai hình nón:
Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh AB thì ta thu được hình nón có chiều cao AC=b,bán kính đáy AB=c
Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh AC thì ta thu được hình nón có chiều cao AC=b,bán kính đáy AB=c
Thể tích hình nón:
Bài 26 trang 169 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:
Hình bên (sbt) có một hình nón,chiều cao k(cm), bán kính đường tròn đáy là m(cm) và một hình trụ có cùng chiều cao và bán kính đường tròn đáy với hình nón. Chứa đầy cát vào hình nón rồi đổ hết vào hình trụ thì độ cao của cát trong hình trụ sẽ là:
A.k/4 (cm) B.k/3 (cm) C. 2k/3 (cm) D.3k/4 (cm)
Lời giải:
Hình trụ và hình nón có cùng bán kính và chiều cao nên thể tích của hình nón bằng 1/3 thể tích hình trụ
Như vậy,khi chứa đầy cát vào hình nón rồi đổ sung hình trụ thì độ cao của cát trong hình trụ sẽ là k/3 (cm)
Vậy chọn đáp án B