Ôn tập chương 4

Bài 67 trang 63 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

 Cho hai hàm số: y = 2x – 3 và y = -x ²

a. Vẽ đồ thị của hai hàm số này trong cùng một mặt phẳng tọa độ

b. Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị

c. Kiểm nghiệm rằng tọa độ của mỗi giao điểm đều là nghiệm chung của hai phương trình hai ẩn y = 2x – 3 và y = -x ²

Lời giải:

a. *Vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 3

Cho x = 0 thì y = -3 => (0; -3)

Cho y = 0 thì x = 3/2=> (3/2; 0)

*Vẽ đồ thị hàm số y = – x²

x	-2	-1	0	1	2
y = -x 2	-4	-1	0	-1	4

*Đồ thị: hình dưới

b. Tọa độ giao điểm của hai đồ thị là A(1; -1) và B(-3; -9)

c. Thay tọa độ điểm A và B vào phương trình y = 2x – 3, ta có:

-1 = 2.1 – 3 = -1; -9 = 2.(-3) – 3 = -6 – 3 = -9

Thay tọa độ điểm A và B vào phương trình y = -x ², ta có:

-1 = -(1) ² = -1; -9 = -(3) ² = -9

Vậy tọa độ điểm A và B là nghiệm của hệ phương trình:

 

Bài 68 trang 63 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

 Giải các phương trình:

a. 3x ² + 4(x – 1) = (x – 1) ² + 3

b. x² + x + √3= √3x + 6

Lời giải:

a. Ta có: 3x ² + 4(x – 1) = (x – 1) ² + 3

⇔ 3x ² + 4x – 4 = x ² – 2x + 1 + 3

⇔ 2x ²+ 6x – 8 = 0 ⇔ x ² + 3x – 4 = 0

Phương trình x ² + 3x – 4 = 0 có hệ số a = 1, b = 3, c = -4 nên có dạng a + b + c = 0, suy ra x₁ = 1, x₂ = -4

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x₁ = 1, x₂ = -4

b. Ta có: x²+ x + √3= √3x + 6

⇔ x2 + x – √3x + √3– 6 = 0

⇔ x2 + (1 – √3)x + √3– 6 = 0

∆ = (1 – √3) ² – 4.1.( √3– 6) = 1 – 2 √3+ 3 – 4 √3+ 24

= 28 – 6 √3= 27 – 2.3 √3+ 1 = (3 √3)² – 2.3 √3+ 1= (3 √3– 1) ² > 0

√∆ = √[3(√3 – 1)²] = 3 √3– 1

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x₁ = 2 √3– 1, x₂ = – √3

Phương trình 5x² – 7x + 2 = 0 có hệ số a = 5, b = -7, c = 2 nên có dạng a + b + c = 0, suy ra x₁ = 1 (loại), x₂ = 2/5

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 2/5

 

Bài 69 trang 63 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

 Giải các phương trình trùng phương sau:

a. x⁴ + 2x² – x + 1 = 15x² – x – 35

b. 2x⁴ + x² – 3 = x⁴ + 6x² + 3

c. 3x⁴ – 6x² = 0

d. 5x⁴ – 7x² – 2 = 3x⁴ – 10x² – 3

Lời giải:

a. Ta có: x⁴ + 2x² – x + 1 = 15x² – x – 35

⇔ x⁴ + 2x² – x + 1 – 15x² + x + 35 = 0

⇔ x⁴ – 13x² + 36 = 0

Đặt m = x². Điều kiện m ≥ 0

Ta có: x⁴ – 13x² + 36 = 0 ⇔ m2 – 13m + 36 = 0

∆ = (-13)² – 4.1.36 = 169 – 144 = 25 > 0

√∆ = √25 = 5

Ta có: x² = 9 => x = ±3

x² = 4 => x = ±2

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: x₁ = 3; x₂ = -3; x₃ = 2; x₄ = -2

b. Ta có: 2x⁴ + x² – 3 = x⁴ + 6x² + 3

⇔ 2x⁴ + x² – 3 – x⁴ – 6x² – 3 = 0

⇔ x⁴ – 5x² – 6 = 0

Đặt m = x². Điều kiện m ≥ 0

Ta có: x⁴ – 5x² – 6 = 0 ⇔ m² – 5m – 6 = 0

∆ = (-5)² – 4.1.(-6) = 25 + 24 = 49 > 0

√∆ = √49 = 7

Ta có: x² = 6 => x = ±√6

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x₁ = √6 , x₂ = -√6

c. Ta có: 3x⁴ – 6x² = 0 ⇔ 3x²(x² – 2) = 0

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x₁ = 0; x₂ = 2 ; x₃ = -2

d. Ta có: 5x⁴ – 7x² – 2 = 3x⁴ – 10x² – 3

⇔ 5x⁴ – 7x² – 2 – 3x⁴ + 10x² + 3 = 0

⇔ 2x⁴ + 3x² + 1 = 0

Đặt m = x². Điều kiện m ≥ 0

Ta có: 2x⁴ + 3x² + 1 = 0 ⇔ 2m² + 3m + 1 = 0

Phương trình 2m² + 3m + 1 = 0 có hệ số a = 2, b = 3, c = 1 nên có dạng :

a – b + c = 0 suy ra m₁ = -1, m₂ = -1/2

Cả hai giá trị của m đều nhỏ hơn 0 nên không thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy phương trình vô nghiệm.

 

Bài 70 trang 63 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: 

Giải các phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:

a. (x² – 2x)² – 2x² + 4x – 3 = 0

b. 3√(x² + x + 1 )– x = x² + 3

Lời giải:

a. Đặt m = x ² – 2x

Ta có: (x ² – 2x) ² – 2x ² + 4x – 3 = 0

⇔ (x²– 2x) ² – 2(x2 – 2x) – 3 = 0

⇔ m²– 2m – 3 = 0

Phương trình m² – 2m – 3 = 0 có hệ số a = 1, b = -2, c = -3 nên có dạng a – b + c = 0

Suy ra: m₁ = -1, m₂ = 3

Với m = -1 ta có: x² – 2x = -1 ⇔ x² – 2x + 1 = 0

Phương trình x² – 2x + 1 = 0 có hệ số a = 1, b = -2, c = 1 nên có dạng a + b + c = 0

Suy ra: x₁= x₂ = 1

Với m = 3 ta có: x² – 2x = 3 ⇔ x²– 2x – 3 = 0

Phương trình x² – 2x – 3 = 0 có hệ số a = 1, b = -2, c = -3 nên có dạng a – b + c = 0

Suy ra: x₁ = -1, x₂= 3

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x₁ = 1, x₂ = -1, x₃ = 3

Bài 71 trang 63 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

 Cho phương trình: x² – 2(m + 1)x + m² + m – 1 = 0

a. Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm.

b. Trong trường hợp phương trình có nghiệm là x₁, x₂, hãy tính theo m: x₁ + x₂; x₁x₂; x₁² + x₂²

Lời giải:

a. Ta có: ∆’ = [-(m + 2)]2 – 1.(m² + m – 1)

= m² + 2m + 1 – m² – m + 1 = m + 2

Phương trình có nghiệm khi ∆’ ≥ 0 => m + 2 ≥ 0 ⇔ m ≥ -2

Vậy với m ≥ -2 thì phương trình đã cho có nghiệm.

b. Giả sử phương trình đã cho có 2 nghiệm x₁ và x₂, theo hệ thức Vi-ét ta có:

x₁ + x₂ = -b/a = -[-2(m + 1)]/1 = 2(m + 1)/1 = 2(m + 1)

x₁x₂ = ca = m² + m – 11 = m² + m – 1

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = (2m + 2)² – 2(m² + m – 1)

= 4m² + 8m + 4 – 2m² – 2m + 2 = 2m² + 6m + 6

Bài 74 trang 63 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: 

Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30km. Một ca nô đi từ A đến B, nghỉ 40 phút ở B rồi trở về bến A. Thời gian kể từ lúc đi đến lúc trở về đến A là 6 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 3km/h.

Lời giải:

Gọi x (km/h) là vận tốc của ca nô khi nước yên lặng.

Điều kiện: x > 3

Khi đó vận tốc khi đi xuôi dòng trên sông là x + 3 (km/h)

vận tốc khi đi ngược dòng trên sông là x – 3 (km/h)

thời gian ca nô đi xuôi dòng là 30/(x + 3) (giờ)

thời gian ca nô đi ngược dòng là 30/(x – 3) (giờ)

thời gian ca nô nghỉ ở B là 40 phút = 2/3 (giờ)

Theo đề bài, ta có phương trình:

Giá trị x = – 3/4 không thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 12 km/h.