Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Bài 20 trang 53 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

 Xác định các hệ số a, b, c ; tính biệt thức ∆ rồi tìm nghiệm của các phương trình :

a. 2x² – 5x + 1 = 0     b. 4x² + 4x + 1 = 0

c. 5x² – x + 2 = 0     d. -3x² + 2x + 8 = 0

Lời giải:

a. Phương trình 2x² – 5x + 1 = 0 có a = 2, b = -5, c = 1

Ta có: ∆ = b² – 4ac = (-5)² – 4.2.1 = 25 – 8 = 17 > 0

√∆ = √17

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :

b. Phương trình 4x² + 4x + 1 = 0 có a = 4, b = 4, c = 1

Ta có: ∆ = b² – 4ac = 4² – 4.4.1 = 16 – 16 = 0

Phương trình có nghiệm kép :

c. Phương trình 5x² – x + 2 = 0 có a = 5, b = -1, c = 1

Ta có: ∆ = b² – 4ac = (-1)² – 4.5.2 = 1 – 40 = -39 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

d. Phương trình -3x² + 2x + 8 = 0 có a = -3, b = 2, c = 8

Ta có: ∆ = b² – 4ac = 2² – 4.(-3).8 = 4 + 96 = 100 > 0

√∆ = √100 = 10

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :

 

Bài 21 trang 53 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

 Xác định các hệ số a, b, c rồi giải phương trình :

Lời giải:

a. Phương trình 2×2 – 2√2 x + 1 = 0 có a = 2, b = -2√2 , c = 1

Ta có: ∆ = b2 – 4ac = (-2√2 )2 – 4.2.1 = 8 – 8 = 0

Phương trình có nghiệm kép :

b. Phương trình 2×2 – (1 – 2√2 )x – 2 = 0 có a = 2, b = -(1 – 2√2 ), c = -2

Ta có: ∆ = b² – 4ac = [-(1 – 2√2 )]² – 4.2.(-2 )

= 1 – 4√2 + 8 + 8√2 = 1 + 4√2 + 8

= 1 + 2.2√2 + (2√2 )² = (1 + 2√2 )² > 0

∆ = (1 + 2√2 )² = 1 + 2√2

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :

d. Phương trình 3x² + 7,9x + 3,36 = 0 có a = 3, b = 7,9, c = 3,36

Ta có: ∆ = b² – 4ac = 7,9² – 4.3.3,36 = 62,41 – 40,32 = 22,09 > 0

√∆ = √22,09 = 4,7

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :

 

Bài 22 trang 53 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: 

Giải phương trình bằng đồ thị :

Cho phương trình 2x² + x – 3 = 0.

a. Vẽ các đồ thị của hai hàm số y = 2x², y = -x + 3 trong cùng một mặt phẳng tọa độ.

b. Tìm hoành độ của mỗi giao điểm của hai đồ thị. Hãy giải thích vì sao các hoành độ này đều là nghiệm của phương trình đã cho.

c. Giải phương trình đã cho bằng công thức nghiệm, so sánh với kết quả tìm được trong câu b.

Lời giải:

a. *Vẽ đồ thị hàm số y = 2x²

x	-2	-1	0	2	2
y = 2x2 8	2	0	1	8

*Vẽ đồ thị hàm số y = -x + 3

Cho x = 0 thì y = 3 ⇒ (0; 3)

Cho y = 0 thì x = 3 ⇒ (3; 0)

b. Ta có: I(-1,5; 4,5), J(1; 2)

*x = -1,5 là nghiệm của phương trình 2x² + x – 3 = 0 vì:

2(-1,5)² + (-1,5) – 3 = 4,5 – 4,5 = 0

*x = 1 là nghiệm của phương trình 2x² + x – 3 = 0 vì:

2.1² + 1 – 3 = 3 – 3 = 0

c. Ta có: ∆ = b² – 4ac = 1² – 4.2.(-3) = 1 + 24 = 25 > 0

√∆ = √25 = 5

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :

 

Bài 23 trang 53 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: 

Cho phương trình 

a. Vẽ các đồ thị của hai hàm sô , y = 2x – 1 trong cùng một mặt phẳng tọa độ. Dùng đồ thị tìm giá trị gần đúng nghiệm của phương trình (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

b. Giải phương trình đã cho bằng công thức nghiệm, so sánh với kết quả tìm được trong câu a.

Lời giải:

a. *Vẽ đồ thị hàm số 

x	-2	-1	0	2	2
	2	1/2	0	1/2	2

*Vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 1

Cho x = 0 thì y = -1 ⇒ (0; -1)

Cho y = 0 thì x = 1/2 ⇒ (1/2 ; 0)

 

Bài 24 trang 54 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

 Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép:

a. mx²– 2(m – 1)x + 2 = 0    b. 3x² + (m + 1)x + 4 = 0

Lời giải:

a. Phương trình mx² – 2(m – 1)x + 2 = 0 có nghiệm kép khi và chỉ khi m ≠ 0 và ∆ = 0

Ta có: ∆ = [-2(m – 1)]² – 4.m.2 = 4(m² – 2m + 1) – 8m

= 4(m² – 4m + 1)

∆ = 0 ⇔ 4(m² – 4m + 1) = 0 ⇔ m² – 4m + 1 = 0

Giải phương trình m² – 4m + 1. Ta có:

∆m = (-4)² – 4.1.1 = 16 – 4 = 12 > 0

Vậy với m = 2 + √3 hoặc m = 2 – √3 thì phương trình đã cho có nghiệm kép.

b. Phương trình 3x² + (m + 1)x + 4 = 0 có nghiệm kép khi và chỉ khi ∆ = 0

Ta có : ∆ = (m + 1)² – 4.3.4 = m² + 2m + 1 – 48 = m² + 2m – 47

∆ = 0 ⇔ m² + 2m – 47 = 0

Giải phương trình m² + 2m – 47. Ta có:

∆m = 2² – 4.1.(-47) = 4 + 188 = 192 > 0

Vậy với m = 4√3 – 1 hoặc m = -1 – 4√3 thì phương trình đã cho có nghiệm kép.