Ôn tập chương II
Bài 82 trang 171 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE, D ∈ (O), E ∈ (O’). Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A cắt DE ở I. Gọi M là giao điểm của OI và AD, N là giao điểm của O’I và AE.
a. Tứ giác AMIN là hình gì? Vì sao?
b. Chứng minh hệ thức IM.IO = IN.IO’
c. Chứng minh rằng OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là DE
d. Tính độ dài DE, biết rằng OA = 5cm, O’A = 3,2cm
Lời giải:
a. Trong đường tròn (O) ta có OI là tia phân giác của góc AID (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Trong đường tròn (O’) ta có O’I là tia phân giác của góc AIE (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
=> IO ⊥ IO’ (tính chất hai góc kề bù)
Suy ra 
= 90o hay 
= 90o
Lại có: IA = ID (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra tam giác ADI cân tại I
Tam giác cân AID có IO là phân giác của góc AID nên IO cũng là đường cao của tam giác AID
Suy ra: IO ⊥ AD hay 
= 90o
Mặt khác: IA = IE (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra tam giác AEI cân tại I
Tam giác cân AIE có IO’ là phân giác của góc AIE nên IO’ cũng là đường cao của tam giác AIE
Suy ra: IO’ ⊥ AE hay 
= 90o
Tứ giác AMIN có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
b. Tam giác AIO vuông tại A có AM ⊥ IO
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: IA2 = IM.IO (1)
Tam giác AIO’ vuông tại A có AN ⊥ IO’
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: IA2 = IN.IO’ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: IM.IO = IN.IO’
c. Ta có: IA = ID = IE (chứng minh trên)
Suy ra A nằm trên đường tròn tâm I đường kính DE
Vì OO’ ⊥ IA tại A nên OO’ là tiếp tuyến của đường tròn (I; DE/2)
d. Tam giác O’IO vuông tại I có IA ⊥ OO’
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
IA2 = OA.O’A = 5.3,2 = 16
Suy ra: IA = 4 (cm). Mà DE = 2IA nên DE = 2.4 = 8 (cm)
Bài 83 trang 171 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, OO’ = 3cm. Qua A kẻ một đường thẳng cắt các đường tròn (O) và (O’) theo thứ tự tại E và F (A nằm giữa E và F). Tính xem đoạn thẳng EF có độ dài lớn nhất bằng bao nhiêu?
Lời giải:
Kẻ OI ⊥ AE, O’K ⊥ AF
Trong đường tròn (O), ta có:
IA = IE = (1/2).AE (đường kính vuông góc với dây cung)
Trong đường tròn (O’), ta có:
KA = KF = (1/2).AF (đường kính vuông góc với dây cung)
Ta có: EF = AE = AF
Suy ra: EF = 2IA = 2AK = 2(IA + AK) = 2IK (1)
Kẻ O’H ⊥ OI
Khi đó tứ giác IHO’K là hình chữ nhật (có ba góc vuông)
Suy ra: O’H = IK
Trong tam giác OHO’ ta có: O’H ≤ OO’ = 3 (cm)
Suy ra: IK ≤ OO’ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: EF ≤ 2OO’ = 6 (cm)
Ta có EF = 6cm khi H và O trùng nhau hay EF // OO’
Vậy EF có độ dài lớn nhất bằng 6cm khi và chỉ khi EF // OO’
Bài 84 trang 171 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O) có đường kính BC. Kẻ dây AD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC ở H, cắt AB ở F. Chứng minh rằng:
a. Tam giác EBF cân
b. Tamm giác HAF cân
c. HA là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Lời giải:
a. Gọi I là giao điểm của AD và BC
Vì BC là đường trung trực của AD nên theo tính chất đường trung trực ta có:
BA = BD
Tam giác BAD cân tại B có BI ⊥ AD nên BI là tia phân giác của góc ABD
Tam giác EBF có BH là tia phân giác của góc EBF và BH ⊥ EF nên tam giác EBF cân tại B.
b. Tam giác EBF cân tại B nên HE = HF
Tam giác AEF vuông tại A có AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên: HA = HE = HF = (1/2).EF (tính chất tam giác vuông)
Vậy tam giác AHF cân tại H.
Vậy HA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 85 trang 172 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và Bm.
a. Chứng minh rằng NE ⊥ AB
b. Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh rằng FA là tiếp tuyến của đường tròn (O)
c. Chứng minh rằng FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA)
Lời giải:
a. Tam giác ABM nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại M
Suy ra: AN ⊥ BM
Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại C
Suy ra: AC ⊥ BN
Tam giác ABN có hai đường cao AC và BM cắt nhau tại E nên E là trọng tâm của tam giác ABN
Suy ra: NE ⊥ AB
b. Ta có: MA = MN (tính chất đối xứng tâm)
ME = MF (tính chất đối xứng tâm)
Tứ giác AENF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành
Suy ra: AF // NE
Mà NE ⊥ AB (chứng minh trên)
Suy ra: AF ⊥ AB tại A
Vậy FA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c. Trong tam giác ABN ta có: AN ⊥ BM và AM = AN
Suy ra tam giác ABN cân tại B
Suy ra BA = BN hay N thuộc đường tròn (B; BA)
Tứ giác AFNE là hình bình hành nên AE // FN hay FN // AC
Mặt khác: AC ⊥ BN (chứng minh trên)
Suy ra: FN ⊥ BN tại N
Vậy FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA)
Bài 86 trang 172 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O’) có đường kính CB
a. Hai đường tròn (O) và (O’) có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau?
b. Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao?
c. Gọi K là giao điểm của DB với đường tròn (O’). Chứng minh rằng ba điểm E, C, K thẳng hàng.
d. Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn (O’)
Lời giải:
. Vì O, O’ và B thẳng hàng nên: O’B < OB => O’ nằm giữa O và B
Ta có: OO’ = OB – O’B
Vậy đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) tại B
b. Ta có: HA = HC (gt)
AB ⊥ DE (gt)
Suy ra: HD = HE (đường kính vuông góc với dây cung)
Tứ giác ADCE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành
Lại có: AC ⊥ DE
Suy ra tứ giác ADCE là hình thoi
c. Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn (O) có Ab là đường kính nên vuông tại D
Suy ra: AD ⊥ BD
Tứ giác ADCE là hình thoi nên EC // AD
Suy ra: EC ⊥ BD (1)
Tam giác BCK nội tiếp trong đường tròn (O’) có BC là đường kính nên vuông tại K
Suy ra: CK ⊥ BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra EC trùng với CK
Vậy E, C, K thẳng hàng.
d. Tam giác DEK vuông tại K có KH là trung tuyến thuộc cạnh huyền DE nên: HK = HE = (1/2).DE (tính chất tam giác vuông)
Suy ra tam giác EHK cân tại H
Bài 87 trang 172 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’). Vẽ các đường kính AOB, AO’C. Dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC
a. Chứng minh rằng tứ giác BDCE là hình thoi
b. Gọi I là giao điểm của EC và đường tròn (O’). Chứng minh rằng ba điểm D, A, I thẳng hàng
c. Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O’)
Lời giải:
a. Vì đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A nên O, A và O’ thẳng hàng
Ta có: KB = KC (gt)
Trong đường tròn (O) ta có:
AB ⊥ DE tại K
Suy ra: KD = KE (đường kính vuông góc với dây cung)
Tứ giác BDCE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.
Lại có: BC ⊥ DE
Suy ra tứ giác BDCE là hình thoi.
b. Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại D
Suy ra: AD ⊥ BD
Tứ giác BDCE là hình thoi nên EC // BD
Suy ra: EC ⊥ AD (1)
Tam giác AIC nội tiếp trong đường tròn (O’) có AC là đường kính nên vuông tại I
Suy ra: AI ⊥ CE (2)
Từ (1) và (2) suy ra AD trùng với AI
Vậy D, A, I thẳng hàng.
c. Tam giác DIE vuông tại I có IK là trung tuyến thuộc cạnh huyền DE nên: KI = KD = (1/2).ED (tính chất tam giác vuông)
Suy ra tam giác IKD cân tại K
Bài 88 trang 172 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đén AB. Vẽ đường tròn (M; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M (C và D là các tiếp điểm khác H).
a. Chứng minh rằng ba điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
b. Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC + BD không đổi
c. Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tích OH.OI không đổi
Lời giải:
a. Trong đường tròn (M; MH), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
– MA là tia phân giác của góc HMC
Vậy C, M, D thẳng hàng.
b. Trong đường tròn (M; MH), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
AC = AH và BD = BH
Khi M thay đổi trên nửa đường tròn tâm O thì AC luôn bằng AH và BD luôn bằng BH
Suy ra: AC + BD = AH + BH = AB không đổi
c. Ta có: AC ⊥ CD và BD ⊥ CD (tính chất tiếp tuyến)
Suy ra: AC // BD hay tứ giác ABDC là hình thang
Mà OA = OB (bán kính (O))
Và AC = MD (bán kính (M))
Suy ra OM là đường trung bình của hình thang ABDC
Khi đó OM // AC. Suy ra: OM ⊥ CD hay góc (OMI) = 90o
Tam giác OMI vuông tại M có MH ⊥ OI
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: OM2 = OH.OI
Suy ra: OH.OI = R2 không đổi.