Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
Bài 12 trang 7 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Tìm x để căn thức sau có nghĩa:
Lời giải:
a. Ta có: 
có nghĩa khi và chỉ khi:
-2x + 3 ≥ 0 ⇔ -2x ≥ -3 ⇔ x ≤ 3/2
b. Ta có: 
có nghĩa khi và chỉ khi:
2/x2 ≥ 0 ⇔ x2 > 0 ⇔ x ≠ 0
c. Ta có: 
có nghĩa khi và chỉ khi:
> 0 ⇔ x + 3 > 0 ⇔ x > -3
d. Ta có: x2 ≥ 0 với mọi x nên x2 + 6 > 0 với mọi x
Suy ra 
< 0 với mọi x
Vậy không có giá trị nào của x để 
có nghĩa.
Bài 13 trang 7 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Rút gọn rồi tính:
Lời giải:
Bài 14 trang 7 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Rút gọn các biểu thức sau:
Bài 15 trang 7 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Chứng minh:
Lời giải:
a. Ta có:
VT = 9 + 4√5 = 4 + 2.2√5 + 5 = 22 + 2.2√5 + (√5 )2 = (2 + √5 )2
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b. Ta có:
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
c. Ta có:
VT = (4 – √7 )2 = 42 – 2.4.√7 + (√7 )2 = 16 – 8√7 + 7 = 23 – 8√7
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
d. Ta có:
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
Bài 16 trang 7 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của x?
Lời giải:
Bài 17 trang 8 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Tìm x, biết:
Lời giải:
= 2x + 1 ⇔ |3x| = 2x + 1 (1)
* Trường hợp 1: 3x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 ⇒ |3x| = 3x
Suy ra: 3x = 2x + 1 ⇔ 3x – 2x = 1 ⇔ x = 1
Giá trị x = 1 là nghiệm của phương trình (1).
* Trường hợp 2: 3x < 0 ⇔ x < 0 ⇒ |3x| = -3x
Suy ra: -3x = 2x + 1 ⇔ -3x – 2x = 1 ⇔ -5x = 1 ⇔ x = – 1/5
Giá trị x = – 1/5 thỏa mãn điều kiện x < 0
Vậy x = – 1/5 là nghiệm của phương trình (1).
Vậy x = 1 và x = – 1/5
⇔ |x + 3| = 3x – 1 (2)
* Trường hợp 1: x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ -3 ⇒ |x + 3| = x + 3
Suy ra: x + 3 = 3x – 1 ⇔ x – 3x = -1 – 3 ⇔ -2x = -4 ⇔ x = 2
Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện x ≥ -3.
Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình (2).
* Trường hợp 2: x + 3 < 0 ⇔ x < -3 ⇒ |x + 3| = -x – 3
Suy ra: -x – 3 = 3x – 1 ⇔ -x – 3x = -1 + 3 ⇔ -4x = 2 ⇔ x = -0.5
Giá trị x = -0,5 không thỏa mãn điều kiện x < -3: loại
Vậy x = 2
= 5 ⇔ |1 – 2x| = 5 (3)
* Trường hơp 1: 1 – 2x ≥ 0 ⇔ 2x ≤ 1 ⇔ x ≤ 1/2 ⇒ |1 – 2x| = 1 – 2x
Suy ra: 1 – 2x = 5 ⇔ -2x = 5 – 1 ⇔ x = -2
Giá trị x = -2 thỏa mãn điều kiện x ≤ 1/2
Vậy x = -2 là nghiệm của phương trình (3).
* Trường hợp 2: 1 – 2x < 0 ⇔ 2x > 1 ⇔ x > 12 ⇒ |1 – 2x| = 2x – 1
Suy ra: 2x – 1 = 5 ⇔ 2x = 5 + 1 ⇔ x = 3
Giá trị x = 3 thỏa mãn điều kiện x > 1/2
Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình (3).
Vậy x = -2 và x = 3.
⇔ |x2| = 7 ⇔ x2 = 7
Vậy x = √7 và x = – √7 .
Bài 18 trang 8 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Phân tích thành nhân tử:
a. x2 – 7 b. x2 – 2√2 x + 2 c. x2 + 2√13 x + 13
Lời giải:
a. Ta có: x2 – 7 = x2 – (√7 )2 = (x + √7 )(x – √7 )
b. Ta có: x2 – 2√2 x + 2 = x2 – 2.x.√2 + (√2 )2 = (x – √2 )2
c. Ta có: x2 + 2√13 x + 13 = x2 + 2.x.√13 + (√13 )2 = (x + √13 )2
Bài 19 trang 8 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Rút gọn các phân thức:
Lời giải:
Bài 20 trang 8 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
So sánh(không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):
a. 6+2√2 và 9 b. √2 + √3 và 3
c. 9 + 4√5 và 16 d. √11 – √3 và 2
Lời giải:
a. 6+2√2 và 9
Ta có: 9 = 6 + 3
So sánh: 2√2 và 3 vì 2√2 > 0 và 3 > 0
Ta có: (2√2 )2=22.(√2)2=4.2=8
32= 9
Vì 8 < 9 nên : (2√2 )2 < 32
Vậy 6+2√2 < 9.
b. √2 + √3 và 3
Ta có: ( √2 + √3)2= (√2)2.(√3)2=2.3=6
22=4
Vì 6 > 4 nên (√2.√3)2 > 22
Suy ra: √2.√3 > 2 ⇒ 2. √2.√3 > 2.2 ⇒ 5 + 2. √2.√3 > 4 + 5
⇒ 5 + 2. √2.√3 > 9 ⇒ ( √2 + √3)2 > 9 ⇒ ( √2 + √3)2 > 32
Vậy √2 + √3 > 3
c. 9 + 4√5 và 16
So sánh 4√5 và 5
Ta có: 16 > 5 ⇒ √16 > √5 ⇒ 4 > √5
Vì √5 > 0 nên 4. √5 > √5.√5 ⇒ 4√5 > 5 ⇒ 9 + 4√5 > 5 + 9
Vậy 9 + 4√5 > 16
d. √11 – √3 và 2
Vì √11 > √3 nên √11 – √3 > 0
Ta có: (√11 – √3)2 = 11 – 2√11.√3 + 3 = 14 – 2√11.√3
22 = 4 = 14 – 10
So sánh 10 và 2√11.√3 hay so sánh giữa 5 và √11.√3
Ta có: 52 = 25
(√11.√3 )2 = (√11)2.(√3)2 = 11.3 = 33
Vì 25 < 33 nên 52 < (√11.√3 )2
Suy ra: 5 < (√11.√3 )2
Suy ra: 14 – 10 > 14 – 2√11.√3 ⇒ (√11 – √3)2 < 22
Vậy √11 – √3 < 2
Bài 21 trang 8 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Rút gọn các biểu thức:
Lời giải:
Bài 22 trang 8 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Với n là số tự nhiên, chứng minh đẳng thức:
Viết đẳng thức trên khi n là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Lời giải:
Bài 2 trang 8 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Lời giải:
≠ khác ∈ thuộc ⇔ tương đương
√ căn bậc hai ≈ xấp xỉ 2
<, >, ≥, ≤ Δ tam giác ∠góc, ⊥ vuoong goc ⇒ suy ra, ABCD.A1B1C1D1 X−