Phương pháp tìm tính đơn điệu (đồng biến – nghịch biến ) của hàm số
Định nghĩa :
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D.
- khi giá trị của biến x tăng (giảm) trên D mà giá trị của hàm số tương ứng tăng (giảm). ta gọi Hàm số đồng biến trên D.
- khi giá trị của biến x tăng (giảm) trên D mà giá trị của hàm số tương ứng giảm (tăng). ta gọi Hàm số nghịch biến trên D.
tóm tắt
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D.
Hàm số được gọi là đồng biến trên D nếu :
Lấy x1, x2 ∈D sao cho : x1 < x2 => f(x1) < f(x2) .
Hàm số được gọi là nghịch biến trên D nếu :
x1, x2 ∈ D sao cho: x1 < x2 => f(x1) > f(x2) .
———————————-
Phương pháp :
Bước 1 :
tìm xác định D.
Bước 2 :
Lấy x1, x2 ∈ D sao cho : x1 < x2 => x2 – x1 > 0.
Bước 3 :
tính : f(x1) = …
f(x2) = …
Bước 4 :
so sánh f(x1) và f(x2). bằng cách :
xét hiệu : f(x2) – f(x1) = … (hoặc f(x2) : f(x1) = …).
- Nếu f(x1) < f(x2) : Hàm số được gọi là đồng biến trên D.
- Nếu f(x1) > f(x2) : Hàm số được gọi là nghịch biến trên D.
——————————–
bài tập 1 :
chứng minh rằng : hàm số y = f(x) = x + 1 đồng biến trên R.
giải.
TXĐ : D = R
Lấy x1, x2 ∈ D : x1 < x2 => x2 – x1 > 0.
tính : f(x1) = x1 + 1
f(x2) = x2 + 1
xét : f(x2) – f(x1) = (x2 + 1) – (x1 + 1) = x2 –x1
ta có : x2 – x1 > 0 => f(x2) – f(x1) > 0
=> f(x1) < f(x2)
Vậy : Hàm số đồng biến trên R.
bài tập 2 :
chứng minh rằng : hàm số y = f(x) = -2x + 3 nghịch biến trên R.
giải.
TXĐ : D = R
Lấy x1, x2 ∈ D : x1 < x2 => x2 – x1 > 0.
tính : f(x1) = -2x1 + 3
f(x2) = -2x2 + 3
xét : f(x2) – f(x1) = (-2x2 + 3) – (-2x1 + 3) = -2(x2 –x1)
ta có : x2 – x1 > 0 => f(x2) – f(x1) < 0
=> f(x1) > f(x2)
Vậy : Hàm số nghịch biến trên R.
bài tập 3 :
chứng minh rằng : hàm số y = f(x) = x2 – 5 nghịch biến trên khoảng ( -∞ ; 0) và đồng biến trên khoảng (0; +∞).
giải.
TXĐ : D = R
Lấy x1, x2 ∈ D : x1 < x2 => x2 – x1 > 0.
tính : f(x1) = x12 – 5
f(x2) = x22 – 5
xét : f(x2) – f(x1) = (x22 – 5) – (x12 – 5) = x22 – x12 = (x2 – x1) (x2 + x1)
Nếu x1, x2 ∈ ( -∞ ; 0) thì x2 + x1 < 0
ta lại có : x2 – x1 > 0 => (x2 – x1) (x2 + x1) < 0 => f(x2) – f(x1) < 0
=> f(x1) > f(x2)
Vậy : Hàm số nghịch biến trên khoảng ( -∞ ; 0).
Nếu x1, x2 ∈ (0; +∞) thì x2 + x1 > 0
ta lại có : x2 – x1 > 0 => (x2 – x1) (x2 + x1) > 0 => f(x2) – f(x1) > 0
=> f(x1) < f(x2)
Vậy : Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; +∞).