Phương pháp chứng minh tính chẵn , lẻ của hàm số

Định nghĩa :

Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu :

x ∈ D thì -x ∈ D và f(-x) = f(x).

lưu ý : đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu :

x ∈ D thì -x ∈ D và f(-x) = -f(x).

lưu ý : đồ thị của hàm số lẻ nhận góc tọa độ làm tâm đối xứng.

+ D là tập đối xứng có dạng : [-a; a] với a ∈ R.

————————–

Phương pháp :

Bước 1 :

tìm TXĐ : D chứng minh D là tập đối xứng.

Bước 2 :

lấy x ∈ D => – x ∈ D.

Bước 3 :

xét : f(-x) :

• Nếu f(-x) = … = f(x) : hàm số chẵn.
• Nếu f(-x) = … = – f(x) : hàm số lẻ.
• Nếu f(-x) = … ≠ – f(x) hoặc f(x): hàm số không chẵn, lẻ.

—————————-

Bài tập 1 :

Xét tính chẵn lẻ của hàm số : y = f(x) = x³ + x

TXĐ : D = R

=> D là tập đối xứng.

lấy x ∈ D => – x ∈ D.

Xét  f(-x) = (-x)³ + (-x) = -( x³ + x)= -f(x)

=> f(-x) = – f(x)

vậy :  hàm số y = x³ + x là hàm số lẻ.

Bài tập 2 :

Xét tính chẵn lẻ của hàm số : y = f(x) = x⁴ + x² – 2

TXĐ : D = R

=> D là tập đối xứng.

lấy x ∈ D => – x ∈ D.

Xét : f(-x) = (-x)⁴ + (-x)² – 2 = x⁴ + x² – 2 = f(x)

=> f(-x) = f(x)

Vậy :  hàm số y = x⁴ + x² – 2 là hàm số chẵn.

Bài tập 3 :

Xét tính chẵn lẻ của hàm số : y = f(x) =  – 5

TXĐ : 2x + 8 ≥ 0 <=> x ≥ – 4

D = [-4; + ∞)

ta có : 5 ∈ D mà – 5 ∉ D => D không là tập đối xứng.

vậy : hàm số không chẵn, không lẻ.

Bài tập 4 :

Xét tính chẵn lẻ của hàm số : y = f(x) = 

Đk :

Vậy : D = [-3; 3] : miền đối xứng.

lấy x ∈ D => – x ∈ D.

Xét : f(-x) =  = f(x)

=> f(-x) = f(x)

=> hàm số y =  là hàm số chẵn.