Lý thuyết và bài tập phép đối xứng trục

1. Cho đường thẳng $d$. Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thuộc $d$ thành chính nó, biến mỗi điểm $M$ không thuộc $d$ thành $M^{\prime }$ sao cho $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $M{M}^{\prime }$, được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng $d$ hay phép đối xứng trục $d$.

Phép đối xứng trục $d$ thường được kí hiệu là ${Đ}_d$

Nếu hình $H^{\prime }$ là ảnh của hình $H$ qua ${Đ}_d$ thì ta còn nói  đối xứng với  qua $d$, hay  và  đối xứng với nhau qua .

2. Cho đường thẳng $d$. Với mỗi điểm $M$, gọi $M^{\prime \prime }$là hình chiếu vuông góc của $M$ trên đường thẳng $d$. Khi đó

$M^{\prime }={Đ}_d$khi và chỉ khi $\overrightarrow{M^{\prime \prime }}$

3. $M^{\prime }={Đ}_d\left(M\right)$ khi và chỉ khi $M={Đ}_d\left(M^{\prime }\right)$

4.- Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục $Ox$:

                                  $\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=\mathrm{x;}\\ y^{\prime }=-y.\end{array}$

– Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục $Oy$

                                 $\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=-\mathrm{x;}\\ y^{\prime }=y\end{array}$

5. Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

6. Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

7. Đường thẳng $d$ được gọi là trục đối xứng của hình $H$ nếu phép đối xứng qua $d$ biến $H$ thành chính nó. Tức ${Đ}_d\left(H^{\prime }\right)=H$

Khi đó ta nói $H$ là hình có trục đối xứng

Bài 1 (trang 11 SGK Hình học 11): Trong mặt phẳng Oxy cho A(1; -2) và B(3; 1). Tìm ảnh của a, b và đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox.

Lời giải:

A(1; -2 ) A^‘ là ảnh của A trong phép đối xứng qua trục Ox có tọa độ là A^‘(1; 2).

B(3; 1) có ảnh B^‘(3; -1)

Ảnh đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox chính là đường thẳng A^‘B^‘. Theo cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt (Hình học lớp 10) ta có đường thẳng A’B’ có phương trình :

Bài 2 (trang 11 SGK Hình học 11): Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x – y + 2 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.

Lời giải:

Gọi M(x; y) tùy ý thuộc d, suy ra 3x – y + 2 = 0 (1)

Thay vào (1), ta được : 3(-x’) – y’ + 2 = 0 ⇔ 3x’ + y’ – 2 = 0

Vậy tọa độ M’ thỏa phương trình d’ : 3x + y – 2 = 0.

Bài 3 (trang 11 SGK Hình học 11):Trong các chữ cái sau, chữ nào là hình có trục đối xứng ?

W

VIETNAM

O

Lời giải:

– W, V, E, T, A, M: Mỗi chữ cái là một hình có trục đối xứng.

– I, O: Mỗi chữ là một hình có hai trục đối xứng.

*Chữ N là hình không có trục đối xứng